2018-2019高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 学案

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积和体积(难点).3.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积(重点)．知识点1 柱体、锥体、台体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长【预习评价】1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示 不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同；表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．知识点2 柱体、锥体与台体的体积公式 几何体体积说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝(S′＋＋S)hS′，S分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高【预习评价】1．若长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，则长方体的体积为(  )A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．答案 B2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________．解析 V台体＝(2＋4＋)×3＝×3×(6＋2)＝6＋2.答案 6＋2 题型一 空间几何体的表面积【例1】 圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．解 如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin60°＝4(cm)，AH＝A1A·cos60°＝4(cm)．设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4，②由①②可得r1＝2(－1)，r2＝2(＋1)．∴S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l＝32(1＋)π(cm2)．规律方法 空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．                   【训练1】 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的 凸多面体的表面积为(  )A.B．2C.D.解析 所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝＝1，∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：S＝8××1×1×sin60°＝2.故选B.答案 B题型二 柱体、锥体、台体的体积【例2】 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，且BD＝＝，两个圆锥的高分别为AD和DC，所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC＝π××5＝π. 故所形成的几何体的体积是π.规律方法 求几何体体积的常用方法【训练2】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴×a2·a＝××a×·a·d.∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.考查方向 题型三 求组合体的表面积与体积方向1 知三视图求体积(表面积)【例3－1】 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于(  )A．8πcm2B．7πcm2 C．(5＋)πcm2D．6πcm2(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(  )A．90πB．63πC．42πD．36π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S表＝S圆柱侧＋S圆锥侧＋S底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π(cm2)．(2)由题意，该几何体是由高为6的圆柱截去一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为V＝·π·32·6＋π·32·4＝63π，故选B.答案 (1)B (2)B方向2 割补法求体积【例3－2】 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．解 因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，D1F∥EB，所以四边形EBFD1是菱形．连接EF，则△EFB≌△EFD1.易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等， 故VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1.又因为S△EBA1＝EA1·AB＝a2，则VF－EBA1＝a3，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝a3.规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.课堂达标1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(  )A.B.C.D.解析 设底面圆半径为r，母线长为h，∴h＝2πr，则＝＝＝＝.答案 A2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(  )A．5πB．6πC．20πD．10π解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.答案 D 3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为(  )A．9B．9＋C．12D．12解析 由三视图可知三棱锥的高为2，底面正三角形的高为3，则底面正三角形的边长a满足a＝3，解得a＝2.又侧棱长为＝2，故该正三棱锥是正四面体，该三棱锥的表面积为：4××(2)2＝12.故选D.答案 D4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2.由＝，得＝，∴＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2.∴＝＝＝.答案 5．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________． 解析 由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，棱柱的底面面积S＝×(1＋2)×1＝，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝.答案 课堂小结1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.                基础过关1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(  )A．2B．2C．4D．8 解析 圆台的轴截面如图，由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.答案 C2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(  )A．4πB．3πC．2πD．π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.答案 C3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于(  )A．6B．6πC．3πD．6π解析 ∵圆台的母线长为＝，∴S圆台侧＝π(1＋2)·＝3π.答案 C4．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.解析 依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为2，该边上的高为1.又依据正视图知该四棱锥高为3.∴V四棱锥＝S·h＝×2×1×3＝2(m3)．答案 25．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．解析 S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.答案 2∶16．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案 7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S侧．解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.(1)V＝×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5.因此S侧＝2＝40＋24.能力提升 8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(  )A．21＋B．18＋C．21D．18解析 由三视图可知，该多面体为一个棱长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×＋×××2＝21＋.答案 A9．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(  )A．54B．54πC．58D．58π解析 设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.答案 A10．由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________． 解析 V＝V长方体＋V圆柱＝1·1·2＋(π·12·1)＝2＋.答案 2＋11．如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形)，则这个几何体的体积为________．解析 空间几何体为正四棱柱内挖空了一个圆柱，如图．∵正四棱柱的底面边长为4，高为3，圆柱的底面半径为1，∴这个几何体的体积为4×4×3－π×12×3＝48－3π.答案 48－3π12．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半． 根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝π×12＋π×22＋π×(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.13．(选做题)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为＝，所以r＝R－x，所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－x2(0