数学必修2人教A：131柱体、锥体、台体的表面积

第一课时柱体、锥体、台体的表面积（一）教学目标1.知识与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表而积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空问想彖能力和思维能力.2.过程与方法让学生经历儿何体的侧而展开过程，感知儿何体的形状，培养转化化归能力.3.情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到儿面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.（-）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的衣而积公式的推导与计算.难点：展开图与空间儿何体的转化.（三）教学方法学导式：学牛分析交流与教师引导、讲授相结合.教学环节教洋内容师生互动设计意图问题：现有一棱长为1的正方体盒学生先思考讨论,然后子AC',—只蚂蚁从A点出发经侧面回答.到达A'点，问这只蚂蚁走边的最短路学生:将正方体沿AA'程是多少？展开得到一个山四个小止方形组成的人矩形如图x/^\ZJ4f情境牛动，HTrA激发热情新课导入耳…■丿教师顺势AAB则丛'=荷即所求.带出主题.师：（肯定后）这个题考査的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕儿何体的展开图讨论儿何体的表面积. 探索新知1.空间多而体的展开图与农而积的计算.(1)探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.(2)已知棱长为a,各面均为等边三角形S-ABC(图1.3—2),求它的表而积.解：先求ASBC的而积，过点S作S/J丄BC,交B于D,因为BC=ci,SD=yJSB2-BD2——a2SSBC=-BCSD=-ax—a=—a2.SBC2224・•・四血体S-ABC的表面积S=4x—a2=屁.师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表而积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？牛：相等.师:对于一个一般的多而，你会怎样求它的表而积.±：多而体的表而积就是各个而的而积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.师:(肯定)棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？让学生经历几何体展开过程感知儿何体的形状.推而广之，培养探索意识会牛：它的表面积都等于表面积与侧面积Z和.师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学牛说法.师：下血让我们体会简单多面体的表面积的计算.师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.生：由于四而体s-ABC的四个而都全等的等边三角形，所以四而体的衣面积等于其中任何一个面积的4倍.学牛分析，教师板书解答过程. 探索新知2.圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱、圆锥、圆台的衣面积公式的推导S関柱=27T厂（厂+1）Spw=7rr（r+1）S例台=龙（r12+r2+r1/+rl）（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表而积公式之间的变化关系（3）例题分析例2如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,丿腳渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm•为了美化花盆的外观，需要涂油漆.己知每平方米用100毫升汕漆，涂100个这样的花盆盂要多少油漆（龙取3.14,结果粘确到1毫升，可用计算器）？分析：只耍求出每一个花盆外壁的表而积，就可求出汕漆的川量.而花盆外壁的表血积等J:花盆的侧血血积加上下底血面积，再减去底血圆孔的血积.解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积cJ5、215山20g丄5、S=TTX[()+X15+X15]—TTX()2222^1000(cm2)=0.1(m2).涂100个花盆需油漆：0.1X100X100=1000(毫升).答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.让学生自C推导公式，加深学牛对公式的认识.用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学牛对空间几何体的了解和学握，灵活运川公式解决问题.师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧血展开图是一个矩形，圆锥的侧而展开图是一个扇形.师：如果它们的底面半径均是厂，母线长均为则它们的表面积是多少？师：打出投影片（教材图1.3.3和图1.3—4）牛［:圆柱的底面积为龙宀侧面面积为2兀rl,因此,圆柱的表面积:S=2/rr2+2托N=2兀+/）生2：圆锥的底面积为兀『,侧面积为I大1此，圆锥的表面积:S=Tir2+7url=7ir{r+/）师：（肯定）圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底血半径分别为厂、*，殮长为/,则它的侧而而积类似于梯形的而积计算S的二*（2龙厂'+2龙厂"=^（r+/J）/所以它的表面积为S=7r（r12+r2+r7+r/）现在请大家研究这三个表血积公式的关系.学生讨论，教师给沖适当引导最后学生归纳结论.师：下面我们共同解决一个实际问题.（师放投影片，并读题）师：木题只要求出花盆外壁的表面积,就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表而积.生：花盆的表积等于尼盆的侧血血积加上底血面积，再减去底血圆孔的血积.（学生分析、教师板书） 随堂练习1.练习圆锥的表面积为«cm2,且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面fl径.L5JAIb-12—T2.如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)形，上面是圆林(尺寸如图，单位：mm)形•电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg,问电镀1000()个零件需锌多少千克(结果精确到0.01kg)答案：1.—\l3a7rm；3兀2.1.74千克.学牛独立完成归纳总结1.柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.2.柱体、锥体、台体表血积公式的关系.学生总结，老师补充、完善作业1.3第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备用例题例1直平行六而体的底而是菱形，两个对角而而积分别为0，。2,求直平行六而体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握育•平行六面体的结构特征，TT•平行六血体是侧棱与底血垂肓•的平行六面体，它的两个对角血是矩形.的长分别为c,d,即BD=c,AC=df则c・l=Q\(1)dl=Q2(2)(£c)2+(£d)222"(3)【解析】如图所示，设底而边长为G,侧棱长为/，两条底而对角线由(1)得c=牛,由(2)得d号，代入(3)得(寻尸+(鲁)2=亍,・•・Q；+2；=4/2/,・・・2la=Qq；+Q；. 单位,mm 例2—个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的岛为2>/3mm.设底面边长为a,则=2>/3,/.tz=4.2・・・正三棱柱的表面积为S二S侧+2S底=3X4X2+2x1x4x27^2=24+8>/3(mm2).例3有一根长为10cm,底面半径是0.5cm的鬪柱形铁管，川一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01cm)【解析】如图，把圆柱表血及缠绕其上的铁丝展开在平曲上，得【解析】如图，把圆柱表血及缠绕其上的铁丝展开在平曲上，得到炬形ABCD.由题意矢U,BC=10cm,A3=2;rx0.5x8=8/rcm,点A与点C就是铁丝的起上位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.:.AC=7102+(8^-)2«27.05(cm).所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题.探究几何体表血上最短距离，常将几何体的表血或侧血展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题.空间问题平面化，是解决立体儿何问题基本的、常用的方法.Ex图4—3—2例4.粉碎机的下料是止四棱台形如图，它的两底血边长分别是80mm和440mm,高是200mm.计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧而积，欲求侧而积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜髙.【解析】如图所示，0、Oi是两底而积的屮心，则0。是高，设E&是斜高，在直如 梯形OO\E、E中，eefJeF+护•••边数7?=4,两底边长0=440,af=80,斜高“=269.111°:.S正梭台何=—(c'+c)・//=—n(a"+a)hf=—x4x(440+80)x269«2.8x10、(mnT)222答：制造这一下料斗约需铁板2.8XI05mm2.