【8A文】柱体-椎体-台体的表面积与体积

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？导入新课 正方体和长方体是由平面图形围成的多面体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。543表面积为：4×3×4+4×5×2=88求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积。 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图ha 棱锥的展开图是三角形。 同理，棱台的展开图呢？棱台的展开图是梯形。 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积。DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。因为BC=a，所以：因此，四面体S-ABC的表面积：解：先求ΔSBC的面积，过S作SD⊥BC，交BC于点D。例一 圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形 圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形 圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积 圆台的侧面展开图是扇环OO'参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积 圆台的侧面展开图是扇环OO'参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积播放动画 一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1cm2）？解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：答：花盆的表面积约是999．例二 r'＝r上底扩大r'＝0上底缩小探究圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ 2.柱体、椎体、台体的体积我们已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，h为高）一般柱体体积也是：其中S为底面面积，h为棱柱的高。一般柱体 思考3:关于体积有如下几个原理：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；（4）体积相等的两个几何体叫做等积体. 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？123123 圆锥的体积公式：（其中S为底面面积，h为高）棱锥的体积公式：（其中S为底面面积，h为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的 思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？高h底面积S它是同底同高的柱体的体积的。 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的。 探究如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此用两个锥体的体积差。得到圆台(棱台)的体积公式:其中S，S‘分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高。上底面积S′高h下底面积SpCBAD 柱体、锥体与台体的体积思考:你能发现三者之间的关系吗？ 上底扩大上底缩小圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？ 思考6:在台体的体积公式中，若S′=S，S′=0，则公式分别变形为什么？S′=SS′=0 有一堆规格相同的铁制（铁的密是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）？例三 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有252个． 球的表面积和体积 与定点的距离小于或等于定长的点的集合，叫做球体，简称球讲授新课1、球的概念定点叫做球的球心定长叫做球的半径与定点的距离等于定长的点的集合，叫做球面O半径球心直径 2、球的表面积o思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？定理：半径为R的球的表面积是球的表面积等于球的大圆面积的4倍 3、球的体积定理：半径为R的球的体积是 例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O证明:R(1)设球的半径为R,得:则圆柱的底面半径为R,高为2R.(2)222624RRRSppp=+=圆柱全Q 理论迁移如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习二1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.课堂练习 例3.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积. (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.“内径”是指内壁的直径，“外径”是指外壁直径。 (变式2)把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?解：当球内切于正方体时用料最省时此时棱长＝直径＝5cm答：至少要用纸150cm2两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体 例4.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。ABCDD1C1B1A1O323334222322343)2(aRVaRSaRaRpppp====\=\=\\且对角线长球的直径等于正方体的体正方体内接于球解：Q (变式)球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体体对角线与球的直径相等。pppp33233422222164216)3(23)2(====\=\=++=\\RVRSRR且体对角线长球的直径等于长方体的长方体内接于球解：Q OABC例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，例题讲解 OABC例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．例题讲解 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.81.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习一课堂练习 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.探究：若正方体的棱长为a，则：⑴正方体的内切球的直径=a⑶与正方体所有侧棱相切的球的直径=⑵正方体的外接球的直径= 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.6.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习二课堂练习 例5、如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm)86618515151111x/y/z/ 解：这个奖杯的体积为V=V正四棱台+V长方体+V球其中V正四棱台V长方体=6×8×18=864V球=所以这个奖杯的体积为V≈1828.76（cm3） 了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结 课堂小结r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小柱体、椎体、台体的表面积： 高考链接1.（2009山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）俯视图222正(主)视图22侧(左)视图A.B.C.D.C 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为所以体积为：所以该几何体的体积为： 2.（2009辽宁）设某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体积为__________。34m3正视图侧视图俯视图 【解析】由三视图知其为三棱锥，由“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”可知高为2，底面三角形的底面边长为4，高为3，则所求棱锥体积为： 课堂练习1.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_______。4πS 2.已知圆锥的表面积为a㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为______________。 3.若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为___________.5 4.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A.B.C.D.A5.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为_______度。180 6.如图,已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD,侧面ABC与底面所成的角为θ。求证:V三棱锥=⅓SΔABC·ADcosθ。证明:在平面BCD内，作DE⊥BC,垂足为E,连结AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。根据三垂线定理，AE⊥BC。∴∠AED=θV三棱锥=⅓SΔABC×AD=⅓×½×BC×ED×AD=⅓×½×BC.AE×cosθ×AD=⅓SΔABCADcosθADCEBθ 习题答案1.2.1.74千克。