1.3.1空间几何体中柱、锥、台体的表面积与体积

1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积一、学习目标1.通过对柱体、椎体、台体的研究，掌握柱体、椎体、台体的表面积与体积的求法；2.会求组合体的表面积与体积。二、学习过程（一）预习案1.温故知新（1）几何体的表面积指的是几何体面积，它表示几何体的大小。（2）几何体的体积表示的是几何体所占的大小。2.新知导学（1）多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积。（2）圆柱的侧面展开图是一个，设底面半径为r，母线长为，那么圆柱的底面积，侧面积，表面积=。（3）圆锥的侧面展开图是一个，设圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的底面积，侧面积，表面积=。（4）圆台的侧面展开图是一个，设上、下底面圆半径分别为、，母线长为，那么上底面面积，下底面面积，那么表面积。（5）一般柱体（包括圆柱与棱柱）的体积是，其中S是底面面积，为柱体的高；锥体（包括圆锥与棱锥）的体积都是；台体（包括棱台与圆台）的体积是。3.预习自测（1）已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则：是（）A.1：3B.1：1C.2：1D.3：1（2）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）侧视图俯视图正视图|←4→|A.B.C.D.（3）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A.B.C.D. （4）长方体的高为，底面面积是，过不相邻两侧棱的截面面积是，则长方体的侧面积是。（5）已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。（二）探究案1.柱体、锥体、台体的表面积问题1：正方体、长方体的展开图与它们的表面积是什么关系？问题2：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？展开图的面积与它们的表面积是什么关系？如何计算它们的表面积？问题3：圆柱的侧面展开图分别是什么？设圆柱的底面半径为，母线长为，那么圆柱的底面积是什么？侧面积是什么？圆柱的表面积是什么？问题4：圆锥的侧面展开图分别是什么？设圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥的底面积是什么？侧面积是什么？圆锥的表面积是什么？问题5：圆台的侧面展开图分别是什么？设圆台的上、下底面半径分别为、，母线长为，那么圆台的上、下底面积是什么？侧面积是什么？圆台的表面积是什么？2.柱体、锥体、台体的体积问题1：柱体（包括棱柱和圆柱）的体积公式是什么？问题2：锥体（包括棱锥和圆锥）的体积公式是什么？问题3：台体（包括棱台和圆台）的体积公式是什么？CBSA问题4：比较柱体、锥体、台体（分圆柱、圆锥、圆台和棱柱、棱锥、棱台两类考虑）的体积公式你能否发现之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作是“特殊”的台体？它们的体积公式是否可以由台体的体积公式得到？3.典型例题例1已知棱长为，各面均为等边三角形的A四面体，求它的表面积。例2如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm,，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm。为了美化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？（取3.14，结果精确到1毫升）变式训练1已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。 例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g)六角螺帽共5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？（取3.14）变式训练2圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6和的矩形，求圆柱的体积。三、总结提升1.求表面积时，要注意利用侧面展开图，把空间问题平面化；对于旋转体表面积的求解关键在于侧面积；2.求几何体体积时，要注意：（1）柱、锥、台体体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算；（2）常见的求体积的方法有公式法，等积法，补体法，分割法等。四、检测与反馈1.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（）A.2B.2.5C.5D.102.圆柱的侧面展开图是长为12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（）A.B.C.或D.3.一个圆柱的底面面积是S，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（）ABCA.4B.C.D.4.已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形三棱锥的体积是（） A.B.C.D.5.把由曲线和围成的图形绕轴旋转，所得旋转体的体积为（）A.B.C.D.11||||←3→|俯视图|←2→|侧视图|←3→||←a→|正视图6.圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点，则其最短路是。7.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则=。8.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是。9.五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，求它的侧面面积。10.已知圆台的上、下底面半径分别是，且侧面积等于两底面积之和，求圆台的母线长。11.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。ACB12.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱=8，若侧面水平放置时，液面恰好过的中点。当底面水平放置时，液面高为多少？