学年高中数学 1.1.6 柱体、锥体、台体的表面积和体积 课件 新人教B必修2

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 一．直棱柱的表面积1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h. 一．直棱柱的表面积1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h. 2.直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和.3.斜棱柱的侧面积，可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面周长与侧棱长的乘积来求.其中直截面就是和棱垂直的截面.如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长为c’，则其侧面积的计算公式就是S侧=c’·l. 二.正棱锥的表面积1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’.其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’， 二.正棱锥的表面积 二.正棱锥的表面积1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’.其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’， 2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.如上图，以正四棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，若设它的底面边长为a，底面周长为4a，斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计算公式为S正四棱锥侧=·4a·h’=ch’，对于正n棱锥，其侧面积计算公式为S正棱锥侧=c·h’. 三.正棱台的表面积1．正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’，下底面的周长为c，斜高为h’. 三.正棱台的表面积1．正棱台的侧面积是S=(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’，下底面的周长为c，斜高为h’. 2．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图是一些等腰梯形，3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高为h’，可得正棱台的侧面积S正棱台侧=(c+c’)·h’。 四.圆柱、圆锥、圆台的侧面积（1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl.O`O （2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，因此该扇形的圆心角θ=，r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长，根据扇形面积公式可得：S圆锥侧=·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。 （3）圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，则S圆台侧=π(r+R)l=(c1+c2)l，其中r，R分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。 五.球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2，其中R为球的半径. 例1.一个长方体的长、宽、高分别为5、4、3，求它的表面积。解：长方体的表面积S=2(5×4+4×3+5×3)=94. 例2.已知正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积.（单位：cm2，精确到0.01）解：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形。因为OE=2，∠OPE=30°， 所以斜高因此S侧=ch’=32(cm2)S全=S侧+S底=48(cm2) 例3.如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的半径为R，正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R；（1）求这个容器盖子的表面积；（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。 S正四棱台=4××(2.5R+3R)×0.6R+(2.5R)2+(3R)2=21.85R2.S球=4πR2.因此，这个盖子的全面积为S全=(21.85+4π)R2.解：（1）因为 （2）取R=2，π=3.14，得S全=137.67cm2.又(137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)，因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg. 例4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.解：由截面圆的面积分别是49πcm2和400πcm2,解得AO1=20cm，BO2=7cm.设OO1=x,则OO2=x+9. 所以R2=x2+202=(x+9)2+72.解得x=15(cm).所以圆的半径R=25(cm).所以S球=4πR2=2500π(cm2) 练习题：1.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）（A）6a2（B）12a2（C）18a2（D）24a2B 2.在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（）（A）（B）（C）（D）B 3.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是（）（A）（B）（C）（D）A 4.球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（）（A）2：π（B）3：π（C）4：π（D）6：πA 5.已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积等于。