2018-2019高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积第一章§1.3空间几何体的表面积与体积 学习目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 问题导学达标检测题型探究内容索引 问题导学 知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是的面积特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.展开图 图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝____侧面积：S侧＝____表面积：S＝________圆锥底面积：S底＝___侧面积：S侧＝___表面积：S＝_______知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积2πr22πrl2πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l) 旋转体圆台上底面面积：S上底＝______下底面面积：S下底＝___侧面积：S侧＝__________表面积：S＝__________________π(r′l＋rl)πr′2πr2π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 几何体体积说明柱体V柱体＝ShS为柱体的______，h为柱体的___锥体V锥体＝ShS为锥体的______，h为锥体的___台体V台体＝(S′＋＋S)hS′，S分别为台体的_______________，h为台体的___知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式底面积高底面积高上、下底面面积高 1.锥体的体积等于底面面积与高之积.()2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()3.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.()[思考辨析判断正误]×√× 题型探究 例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.类型一 柱体、锥体、台体的侧面积解答解如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 反思与感悟空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 跟踪训练1(1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π解析答案√ 解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. (2)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积.解答解如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20cm.同理可得SB＝40cm.所以AB＝SB－SA＝20cm.所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2). 例2(1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为类型二 柱体、锥体、台体的体积解析答案√ 解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π， (2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.9B.10C.11D.解析解析由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，答案√所以V＝4×3－1＝11. 反思与感悟(1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.(2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 跟踪训练2已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________.解析答案解析设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π. 命题角度1等体积变换法例3如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.类型三 几何体体积的求法解答 解由，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， 引申探究例3中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1－EBFD1的体积解答 所以四边形EBFD1是菱形.连接EF，则△EFB≌△FED1.因为三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－FED1的高相等，所以. 反思与感悟四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可. 跟踪训练3如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.解答 解在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，∵， 命题角度2割补法求体积例4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.解答 ∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20. 反思与感悟割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求. 跟踪训练4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为A.5πB.6πC.20πD.10π答案√解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.解析 达标检测 12341.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是答案√5解析设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，解析 答案√12345解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，解析 3.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a，解析答案√12345 4.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______.解析12345答案216π∵r∶R＝3∶8，∴r＝3，R＝8.S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.解析设圆台上底与下底的半径分别为r，R， 5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为_____.12345解析答案解析 1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).4.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.规律与方法 (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.