1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教材分析本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积，这是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的是使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．教学目标重点:了解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．难点：台体的表面积与体积问题，以及适度理性分析的渗透．知识点：柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用．能力点：通过解决棱柱、棱锥、台体的表面积和体积问题培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力．教育点：通过学生实际操作和观察学习，使学生感受到几何体表面积和体积的求解过程对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．自主探究点：圆台表面积公式的推导过程和台体与柱体和锥体之间的转换关系．考试点：根据公式计算相关几何体的表面积与体积．易错易混点：几何体的结构特征的误判和公式的混用与母线等含义的误判.拓展点：祖暅原理与柱体、锥体的体积．教具准备多媒体课件、三角板和实物（学生分工分组亲自制作）课堂模式自主探究一、引入新课：首先教师提出问题：在过去的学习中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积求法和它们的展开图，请大家回忆一下，它们的展开图是什么呢？怎样来求它们的表面积？老师演示正方体和长方体的展开图如下，并引导学生回忆和回答．图1正方体及其展开图图2长方体及其展开图然后设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用它们的展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体、锥体、台体的表面积是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？引入课题．【设计意图】复习表面积的概念，介绍求几何体表面积的方法(把空间问题转化为平面问题).
在回顾已学知识的同时，也为介绍柱体、锥体、台体的表面积作铺垫，同时引导学生将几何体展开为平面图形时一定要注意在何处展开：多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.二、探究新知:1．探究多面体表面积的求法：教师：利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图：高考资源网学生：分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？教师：对学生讨论归纳的结果进行点评，并梳理总结出：一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积．例1．已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积．学生：自主探究，分析题目，计算出结果．教师：提供出规范的解题过程如下：解：先求△的面积,过点作,交于点．因为,SD=所以因此,四面体的表面积【设计意图】具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础．2．探究旋转体的表面积的求法：思考：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？教师：引导学生分析得出：对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积．①探究圆柱的表面积的求法：图柱的侧面展开图是矩形，其长是圆柱底面圆周长，其宽是圆柱的高（母线），设圆柱的底面半径为,母线长为,则有圆柱的底面积为，侧面面积为，因此圆柱的表面积为：
②探究圆锥的表面积的求法：圆锥的侧面展开图为一个扇形，其半径是圆锥的母线，其弧长等于圆锥底面周长，设圆锥的底面半径为,母线长为,则有侧面展开图扇形中心角为，那么扇形面积(圆锥侧面展开图面积)为，即为，所以圆柱的表面积为．③探究圆台的表面积的求法：探究：(1)联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台的展开图的形状，并画出它吗？(2)如果圆台的上、下底面半径分别为,母线长为,你能计算出它的表面积吗？课堂实录：对于圆台表面积的求解，学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题．表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设使得计算复杂；第二是根据三角形相似列式时出错，比如有学生列出的比例式是等等．针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误．教师通过分析给出：根据相似三角形得出，那么，那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积，即，所以圆台表面积为．例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1．5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升，可用计算器）？分析：油漆位置在什么地方？→如何求花盆外壁表面积？
只要求出每个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积．教师：提供出规范的解题过程如下：由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积所以涂100个花盆需油漆：(毫升）．答：涂100个这样的花盆约需1000毫升油漆．【设计意图】正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，同时要注意重合部分的处理让学生.通过日常生活中的实例解决具体的探究几何体的表面积问题，具体体验应用公式的能力以及熟悉半径、母线等含义；主要考察学生的实际应用公式能力和日常生活观察能力及空间想象能力.巩固练习：1、教科书第27页练习1（让学生上黑板板书演算过程）2、追加变式：半径为4的半圆卷成一个圆锥形容器，则该容器的体积为多少？【设计意图】趁热打铁，让学生进一步巩固熟悉立体图形平面展开图与平面图形还原成立体图形思想，主要是空间问题平面化思想.及其公式的再次应用能力.真正让学生成为课堂的主人.3.柱体、锥体、台体的体积公式我们已经学习了计算特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为(为底面面积，为高)，一般柱体的体积为，其中为底面面积，为柱体的高(棱柱或圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点向另外一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离)圆锥的体积公式为(为底面面积，为高),它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱的体积的，即棱锥的体积(为底面面积，为高).一般锥体的体积公式为，其中为底面面积，为锥体的高(棱锥或圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离)由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式：
，其中分别为上、下底面面积，为圆台(棱台)的高.思考1：台体的体积公式你能够证明吗？分析：（以圆台为例）：如图，设，上下底面的半径分别为和，圆台的上下底面积分别为和．ｈ实际情况：学生只给出思路，具体的计算课后完成.思考2；柱、锥、台的体积计算公式有何关系？三、理解新知：对于圆柱、圆锥、圆台的表面积公式可以用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可以看作上下两底面全等的圆台；圆锥可以可以看作上底面为零的圆台，因此圆柱圆锥可以看作圆台的特例.这样圆柱圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.同理柱锥台的体积公式也是有它们之间的关系决定的，这样，在台体的公式中，令上下面积相等，得到柱体的体积公式；令上底面的面积为零得到椎体的体积公式.四、运用新知：例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？教师分析：六角螺帽的几何结构特征？→如何求其体积？→如何求正六边形的面积→利用哪些数量关系求个数？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为答：这堆螺帽大约有252个.
【设计意图】让学生了解六角螺帽的机构特征，熟悉正六边形的特点及其求正六边形面积的方法（分割法）、如何求组合体的体积，以及让学生熟悉掌握对于体积公式的具体应用能力.让学生掌握求体积的关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题的思想.五、课堂小结：1.柱体、锥体、台体的表面积：（1）多面体：各面面积之和（空间问题化为平面问题）（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：2．柱体、锥体、台体的体积：六、布置作业：必做题：课本P28A组1.3.选做题：课本P30B组2.课外延伸：自主学习丛书P108.七、教后反思:教学设计亮点：本节主要用联系的观点看待柱、锥、台体的表面积和体积公式、并且推导出柱、锥、台体的表面积和体积公式，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。在教学过程中让学生体会类比思想，划归思想及转化思想，把主动权交给学生：通过学生动手操作，直观感知，自主探究，合作交流等方式归纳、总结探索出常见几何体的表面积和体积，根据课表要求，适当控制例题、习题的难度，以基础为主，提高学生基本能力及学习兴趣.课堂教学不足之处：本节内容多公式多习题少容易让学生走马观花般没有在脑子里打上烙印.同时体积公式直接给出，没有做实验也没有推导过程，学生有点被动接受的感觉.八、板书设计:柱体、锥体、台体的表面积与体积一、课题引入二、柱体、锥体、台体的表面积1多面体的表面积求解2旋转体的表面积公式三、柱体、锥体、台体的体积四、典例讲评变式练习五、归纳小结小学语文六年级上册成语及解释第一单元德高望重：道德高尚，名望很大。津津乐道：很感兴趣地谈论。
别有深意：另有一种深层意思。左冲右撞：指找不到目标乱来一通。意味深长：含意深刻，耐人寻味。庞然大物：外表上庞大的东西。行色匆匆；匆忙赶路的神态。奇妙无比：稀奇巧妙的程度没有其他可以比得过。不拘一格：不局限与一种规格或形式。年过花甲：年纪已超过六十岁。第二单元悬崖峭壁：形容山势险峻。狂风怒号：猛烈的风大声吼叫。惹人讥笑：让别人讥讽和嘲笑。寝不安席：无法安然入睡。 思潮起伏：接二连三的思想活动。可见一斑：比喻从观察到的部分，可以推测全貌。碧空如洗：青蓝的天空，像洗过一样明净。波涛起伏：形容江湖海洋上起伏不平的水面。水落石出：水落下去，石头就露出来。比喻真相大白。百折不回：比喻意志坚强，无论受到多少挫折，都毫不动摇退缩。牙牙学语：形容婴儿咿咿呀呀地学大人说话的神情。第三单元心惊肉跳：多指因担心灾祸临头而恐慌不安，肌肉抽筋。自言自语：无人对白﹐自己跟自己说话。自作自受：自己做了蠢事，自己倒霉。缝缝补补：用针和线把原来不在一起或开了口的东西连上。大吃一惊：形容对发生的事感到十分意外。流连忘返：留恋不舍，美好的景致令游客流连忘返。身无分文：非常贫穷，身上没有一点钱财。溜之大吉：偷偷走开或一走了事。十指连心：1、谓十个指头的痛楚都与心息息相通。2、比喻关系异常密切。怒目圆睁：发怒时瞪大了眼睛。兴高采烈：形容兴致很高，情绪饱满。深者意第四单元和蔼可亲:和蔼：和气，谦逊。指一个人的修养很好，态度温和，容易接近。滔滔不绝：像流水那样毫不间断。也指话很多，说起来没完没了。一泻千里:形容江河奔流直下，流得又快又远。也比喻文笔或曲调气势奔放。也形容价格猛跌不止。分至沓来:形容接连不断地到来。世外桃源：一个与世隔绝，安居乐业的好地方，用以比喻不受外界影响的地方或理想中的美好地方。从天而降:比喻意想不到，突如其来。 生命垂危:接近死亡，极其危险。 风雨同舟:舟：船。在狂风暴雨中同乘一条船，一起与风雨搏斗。比喻共同经历患难。第五单元失声痛哭：忍不住悲痛地放声哭起来。囫囵吞枣：把整个咽下去，不加咀嚼，不辨滋味。比喻对事物不加分析，不加思考。
张冠李戴：姓张的帽子戴到姓李的头上。比喻弄错对象。马马虎虎：指还过得去。亦形容做事不认真，不仔细。恍然大悟：顿时醒悟过来。恍然，猛然清醒的样子。悟，明白。匆匆忙忙：急急忙忙的样子。饱经风霜：形容经历过很多的艰难困苦。牛毛细雨：细而密的小雨。结结巴巴：说话断断续续，不流畅。大病新愈：生了一场重病刚刚复原。第七单元抑扬顿挫：声音高低起伏和停顿转折。相依相随：相互依靠，跟随。焦躁不安：形容人的心情烦躁,坐立不安。漫不经心：随随便便，不放在心上。久别重逢：指朋友或亲人在长久分别之后再次见面。横遭不幸：突然地、意外地遭受到不幸。震耳欲聋：形容声音很大。浴血搏杀：形容战斗激烈。不甘落后：不甘心落后于他人之后。千方百计：想尽或用尽各种办法。 哭笑不得：形容处境尴尬不知如何是好。长途跋涉：形容路途遥远。大摇大摆：走路时身子摇摇摆摆，形容自以为了不起的傲慢神态。无影无踪：形容完全消失，不知去向。第八单元微波粼粼：微波：水面细小的波纹。粼粼，形容水，石等明净。有朝一日：将来有那么一天。大洋彼岸：海洋的那一边。不解之缘：不能分开的缘分，指亲密的关系或深厚的感情。暗无天日：形容早反动势力统治下社会的黑暗。文中指吴霜在母亲肚子里什么也看不见。
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