柱体与锥体的体积公式

08数本2班邓燕芳柱体和锥体的体积 瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！——你们能求出它的体积吗？看，这不是不复存在的世贸大厦吗？——这两个棱柱的体积怎么求？想知道吧？让我们一起来学习今天的内容吧！引入 教学流程祖暅原理柱体的体积公式锥体的体积公式随堂练习小结 夹在两个平行平面间的两个几何体，平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面都相等，那么这两个几何体的体积相等。（一）祖暅原理祖暅夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积S1=S2，那么这两个几何体的体积一定相等。截面过程 我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理。祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲知道17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年~1647年）提出上述结论。（429年~500年）（一）祖暅原理： 例如：取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。引例： 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（右图）（二）柱体的体积公式根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体=S·h其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 例1：有一堆相同规格的六角螺毛坯5.8k，已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm，内孔直径是10mm,问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm3)解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.V正六棱柱=[(1.732/2×12×12)×6]×10≈3.74×103(mm3)V圆柱=3.14×25×10≈0.785×103(mm3)毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)∴5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)答:这堆毛坯约有250个。ONP巩固知识，灵活运用 （三）锥体的体积公式设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们的底面在同一个平面α内。根据祖暅原理，可推导出定理。定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等。为了求锥体的体积公式,我们先研究等底等高的任意两个锥体体积之间的关系!截面过程 1、深入探究，揭示新知设三棱柱ABC-A´B´C´的底面积,即△ABC的面积为S,高即点A´到平面ABC的距离为h，则它的体积为S·h。沿平面A´BC和平面A´B´C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥。割补过程 其中三棱锥1、2的底面积相等（SΔA´AB=SΔA´B´B），高也相等（点C到AB´B´A的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面（SΔB´BC=SΔA´B´B）和相等的高（点A到平面BCC´B´）的距离。因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是:V三棱锥＝⅓·S·h1、深入探究，揭示新知 对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。1、深入探究，揭示新知V三棱锥=⅓·S·hV圆锥=⅓·S·hhshs定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是:V锥体=⅓·S·h 例2如图,已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD,侧面ABC与底面所成的角θ.求证:V三棱锥=⅓SΔABC·ADcosθ.证明:在平面BCD内，作DE⊥BC,垂足为E,连结AE,DE就是AE在平面BCD上的射影.根据三垂线定理，AE⊥BC.∴∠AED=∠θV三棱锥=⅓SΔBCD•AD=⅓×½×BC•ED•AD=⅓×½×BC•AE•cosθ•AD=⅓SΔABC•ADcosθ2、巩固新知、灵活运用ADCEBθ （四）随堂练习：1、选择：三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，且ΔACD和ΔBCD都是边长为a的正三角形，那么它的体积是（）A、a3/8B、3a3/8C、a3/16D、a3/42、判断：底面是梯形的直棱柱的体积，等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半。答案：正确。 （五）小结：知识点：1、理解掌握锥体体积公式和柱体体积公式。2、了解例题中有关的面积与其投影面积的关系。方法点和思想点：1、研究三棱柱与三棱锥体积公式关系时所用的割以及反面补的方法。2、研究过程中体现出从一般到特殊，再从特殊到一般的思想方法。教育点：实际问题提醒把我们应注意联系实际生活。 （五）作业：1、三棱锥的底面是ΔABC，AB=13cm，BC=5cm，CA=12cm,侧棱AA`的长是20cm。如果侧棱AA`与底面所成的角是60˚，求这个三棱柱的体积。2、三棱锥的三个侧面互相垂直，它们面积分别是6m2，4m2和3m2。求它的体积。3、圆锥的体积是22cm3,轴和母线所成的角是48˚15´，求它的高是多少？