2018-2019高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 学案

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式几何体体积说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高 锥体V锥体＝ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝(S′＋＋S)hS′，S分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)3．斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．(×)类型一 柱体、锥体、台体的侧面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.反思与感悟 空间几何体的表面积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．跟踪训练1 (1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(  ) A．20πB．24πC．28πD．32π考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面积解 如图所示，设圆台的上底面周长为ccm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20cm.同理可得SB＝40cm.所以AB＝SB－SA＝20cm.所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)． 类型二 柱体、锥体、台体的体积例2 (1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋D．4π＋考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )A．9B．10C．11D.考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 C解析 由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1＝1，高为3的三棱锥形成的，V三棱锥＝×1×3＝1，所以V ＝4×3－1＝11.反思与感悟 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．考点 柱体、锥体、台体的体积题点 台体的体积答案 解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝.类型三 几何体体积的求法例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积解 由，∵＝EA1·A1D1＝a2，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴＝×a×a2＝a3， ∴＝a3.引申探究例3中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1－EBFD1的体积解 因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，D1F∥EB，所以四边形EBFD1是菱形．连接EF，则△EFB≌△FED1.因为三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－FED1的高相等，所以.又因为＝EA1·AB＝a2，所以＝a3，所以＝a3.反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，∵，∴×a2·a＝××a×·a·d. ∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a.例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解 如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求．跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(  )A．5πB．6πC．20πD．10π考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积 答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(  )A.B.C.D.考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积答案 A解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，＝＝.2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(  )A.B.C．64πD．128π考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2r＝，即l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2＝16π，解得r＝4.∴l＝4，圆锥的高h＝＝4，∴圆锥的体积为V＝Sh＝π×42×4＝. 3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为(  )A．9B．9＋C．12D．12考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 锥体的表面积答案 D解析 由侧视图可知三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a，由a＝3，解得a＝2.所以侧棱长为＝2，所以正三棱锥是正四面体，所以该三棱锥的表面积为4××(2)2＝12.4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______．考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面积答案 216π解析 设圆台上底与下底的半径分别为r，R，由勾股定理可得R－r＝＝5.∵r∶R＝3∶8，∴r＝3，R＝8.S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________． 考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 解析 ＝××1×1×1＝.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．4．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．一、选择题1．正方体的的表面积为96，则正方体的体积为(  )A．48B．64C．16D．96考点 柱体、锥体、台体的体积题点 柱体的体积答案 B解析 设正方体的棱长为a，则6a2＝96， ∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(  )A．2πB．3πC．4πD．8π考点 柱体、锥体、台体的体积题点 柱体的体积答案 A解析 设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得∴V圆柱＝πr2l＝2π.3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(  )A．2B．2C．4D．8考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面积答案 C解析 圆台的轴截面如图所示，设母线长为l，由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(  )A.πB.πC.πD.π考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝ π.5．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(  )A.B.C.D.考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 C解析 ∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，∴VC－AA′B′B＝1－＝.6．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a的值为(  )A．1B．2C．3D．4考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(  ) A．372B．360C．292D．280考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.8．将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(  )A．6cmB．6cmC．2cmD．3cm考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为rcm，由题意知πr2×r＝π22×6，得r＝2，∴水面的高度是×2＝6(cm)．二、填空题9．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 锥体的表面积答案 9解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形， 所以S＝4××32＝9.10．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 π解析 圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π.11．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 解析 设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.12．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 96＋6π解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 三、解答题13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V—ABCD.(1)V＝×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5.因此侧面积S＝2＝40＋24.四、探究与拓展14．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个三棱锥C－A1DD1，求三棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解 设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，所以＝＝Sh.而三棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h， 故三棱锥C－A1DD1的体积为＝×S×h＝Sh，余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.所以三棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的高；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，由图，得＝，即h＝3－3x.(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值π.∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积取得最大值π.