2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积优化练习新人教A版必修2

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积[课时作业][A组 基础巩固]1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(  )A．1∶2       B．1∶C．1∶D．∶2解析：设圆锥的高为a，则底面半径为，则S底＝π·2＝，S侧＝π··＝πa2，所以＝，故选C.答案：C2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(  )A.cm3B．cm3C．2000cm3D．4000cm3解析：由三视图知，该几何体的底面是边长为20cm的正方形，高为20cm的四棱锥，所以其体积为V＝×202×20＝(cm3)．答案：B 3．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(  )A．130B．140C．150D．160解析：设底面边长为a，底面的两条对角线分别为l1，l2，则l＝152－52.l＝92－52.而l＋l＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，故S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.答案：D4．如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是(  )A.B．C.D．解析：∵VCA′B′C′＝VABCA′B′C′＝，∴VCAA′B′B＝1－＝.答案：C5．棱台的体积为76cm3，高为6cm，一个底面面积为18cm2，则另一个底面面积为________．解析：设另一个底面面积为xcm2，则由V＝h(S＋＋S′)，得76＝×6×(18＋x＋)，解得x＝8，即另一个底面的面积为8cm2.答案：8cm26．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_____cm3. 解析：由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示．三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形，且高为2，故V＝××3×1×2＝1(cm3)．答案：17．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设母线长为l，则r＋R＝2l.∵S侧＝π(r＋R)l＝32π，∴l＝4.答案：48．已知平行四边形ABCD，AB＝8，AD＝6，∠DAB＝60°，以AB为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积．解析：过D、B分别作DE⊥AB于E，BF⊥CD于F，旋转体的表面积是两个圆锥的侧面积和一个圆柱的侧面积之和．在Rt△ADE中，AD＝6，∠DAE＝60°，∴DE＝BF＝3，AE＝CF＝3.∴S表＝2S锥侧＋S柱侧＝2π×3×6＋2π×3×(8－3)＝66π.9．如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．解析：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′. ∵S侧＝2S底，∴·3a·h′＝a2×2.∴a＝h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋2＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6.∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.[B组 能力提升]1．已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为(  )A．12B．27C．36D．6解析：取B1C1的中点M1，BC的中点M，三棱柱的侧视图为矩形AMM1A1， ∴侧视图中的3是等边三角形ABC的高，设底面边长为a，∴a2＝＋(3)2，∴＝27，∴a＝6，∴三棱柱的体积V＝×6×3×4＝36.答案：C2.如图设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥BAPQC的体积为(  )A.VB.VC.VD.V解析：易知S四边形APQC＝S四边形A1PQC1＝S四边形A1ACC1，故VBAPQC＝VBAA1C1C.而V＝VBAA1C1C＋VBA1B1C1，VBA1B1C1＝V，故VBAA1C1C＝V，则VBAPQC＝V.答案：C3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．解析：VD1EDF＝VFDD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.答案：4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8. 答案：85．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．求这个几何体的表面积及体积．解析：这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．6．王老汉家用圆锥形仓库贮藏粮食，已建的仓库的底面直径为12m，高4m，由于今年粮食丰收，王老汉拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多粮食，有人给他提供了两种方案：一是将新建的仓库的底面直径比原来增加4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)请问你将提供哪个方案给王老汉？解析：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m， 则仓库的体积V1＝Sh＝×π×2×4＝(m3)．如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×2×8＝＝96π(m3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径8m.圆锥的母线长为l＝＝4(m)，则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝32π＋64π(m2)．如果按方案二，仓库的高变成8m.圆锥的母线长为l＝＝10(m)，则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π(m2)．(3)∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济．