1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )(A)(B)(C)2π(D)4π解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,高为的圆锥的组合体,其体积为2××π×()2×=π.2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )(A)3π(B)4π(C)2π+4(D)3π+4解析:由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=2××π×12+π×1×2+2×2=3π+4.故选D.3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )(A)2π(B)4π(C)5π(D)6π解析:由该几何体是圆柱,底面直径为2,高h=2,表面积S=6π.故选D.4.已知正六棱柱的最大对角面的面积为4,互相平行的两个侧面的距离为2,则这个六棱柱的体积为( B )(A)3(B)6(C)12(D)15解析:设正六棱柱的底面边长为a,高为h,因为正六棱柱的最大对角面的面积为4,互相平行的两个侧面的距离为2,
所以2ah=4,a=2,解得a=,h=,故V=Sh=6××()2×sin60°×=6.故选B.5.某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( B )(A)π(B)π(C)6π(D)π解析:该几何体的上方是以2为底面圆的半径,高为2的圆锥的一半,下方是以2为底面圆的半径,高为1的圆柱的一半,其体积为V=+×π×22×2=2π+π=π.6.一个圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则该圆台的侧面积为( B )(A)81π(B)100π(C)14π(D)169π解析:设该圆台的上底面半径为r,则其下底面半径为4r,高为4r,结合母线长为10,可求得r=2.故该圆台的侧面积为π(2+8)×10=100π.故选B.7.棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( C )(A)(B)(C)(D)解析:棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体实际上是两个底面相等的正四棱锥,四棱锥的底面是正方形面积的一半,高为正方体高的一半,故八面体的体积为2×××a×a××a=.故选C.8.在三棱锥PABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为( C )(A)a(B)a(C)a(D)a
解析:设点P到平面ABC的距离为h,因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a,所以AB=BC=AC=a,所以S△ABC=a2,根据=,可得××a3=×a2×h,所以h=a,即点P到平面ABC的距离为a,故选C.9.安庆市石化一中高二上期中)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3. 解析:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边长分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图:V=V棱柱-V棱锥=×3×4×5-××3×4×3=24(cm3).答案:2410.若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为 . 解析:由题底面半径是1,圆锥的母线为2,则圆锥的高为,所以圆锥的体积为××π=.
答案:11.如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,则以AB边所在直线为轴,将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积S为 . 解析:在△ABC中,作CD⊥AB交AB于点D,由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,所以CD=.则以△ABC的AB边所在直线为轴,将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥,且底面半径r=,母线长分别是3,4,所以S=πr(AC+BC)=π××(3+4)=π.答案:π12.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是 . 解析:如图1为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图2所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.答案:813.已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S,求其内接正四棱柱的体积.解:如图,设等边圆柱的底面半径为r,则高h=2r.因为S=S侧+2S底=2πrh+2πr2=6πr2,
所以r=.因为内接正四棱柱的底面是正方形,设其边长为a,则BD=a=2r,所以a=r,所以V=S柱底·h=(r)2·2r=4r3=4·()3=S.即圆柱的内接正四棱柱的体积为S.14.在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.解:将四边形ABCD绕AD旋转一周形成一个被挖去圆锥的圆台,如图所示.设E为圆台上底面的圆心,连接EC,ED,则EA即为圆台的高.因为CD=2,AD=2,∠EDC=180°-∠ADC=45°,则△CED为等腰直角三角形,所以CE=ED=2,AE=4.又AB=5,则BC==5.所以几何体的表面积S=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π×(2+5)×5+π×52+π×2×2=35π+25π+4π=60π+4π,体积V=V圆台-V圆锥=×(22+52+2×5)×4-×22×2=52π-π=.15.一个圆锥底面半径为2cm,高为6cm,在其内部有一个内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.解:(1)圆锥的母线长为=2(cm),所以圆锥的侧面积S圆锥侧=π×2×2=4π(cm2).
(2)画出圆锥的轴截面如图所示.设圆柱的底面半径为rcm,由题意,知=,所以r=,所以圆柱的侧面积S圆柱侧=2πrx=(-x2+6x)=-[(x-3)2-9],所以当x=3时,S圆柱侧取得最大值,且最大值为6πcm2.16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( B )(A)+2π(B)(C)(D)解析:由三视图可知,该几何体是一个圆柱与一个半圆锥的组合体,其中圆柱的底面半径为1、高为2,半圆锥的底面半径为1、高为1,所以该几何体的体积为V=××π×12×1+π×12×2=,故选B.17.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为( D )
(A)(B)5(C)6(D)解析:法一 如图1所示,连接EB,EC,AC,则=×32×2=6.因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF,所以====×=.则VABCDEF=6+=.法二 如图2,设G,H分别为AB,DC的中点,连接EG,EH,GH,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGHFBC,由题意得=SAGHD×2=×3×3××2=3,
=3=3=3×==×3=,则V=+=3+=.法三 (补体法)如图3所示,延长EF至点G,使EG=AB=3,连接BG,CG,则多面体BCGADE为斜三棱柱,其直截面面积为S=3,则=S·AB=9.又平面BCG∥平面ADE,F为EG的中点,连接DF,AF,所以=,所以2+=,即2=9-×3×3×2=3.所以=,所以V=-=.18.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 解析:底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π×52×4+π
×22×8=.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r,则π×r2×4+π×r2×8=r2=,解得r=.答案:19.如图,在三棱柱ABCA1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P,Q,且满足A1P=BQ,M是棱CA上的动点,则的最大值是 . 解析:设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V,因为侧棱AA1和BB1上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,所以四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等.因为M是棱AC上的点,所以M是C时,四棱锥MPQBA的体积等于三棱锥CABA1的体积,为V,所以的最大值是=.答案:20.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B1DBQ的体积;
(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)==×(×2×2)×2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)×=.
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