台体的表面积与体积

羀膇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄肈薀螀羆芃蒆袀聿肆莂衿螈节芈袈袀肅蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄袄羇膁蚃袄聿莇蕿羃膂腿蒅羂袁莅莁薈羄膈芇薈膆莃蚆薇袆芆薂薆羈蒁蒇薅肀芄莃薄膃肇蚂薃袂芃薈蚂羅肅蒄蚂肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿蚅虿肁膂薁蚈膃莇蒇蚇袃膀莃螆羅莆艿螆肈腿薇螅螇莄蒃螄羀膇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄肈薀螀羆芃蒆袀聿肆莂衿螈节芈袈袀肅蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄袄羇膁蚃袄聿莇蕿羃膂腿蒅羂袁莅莁薈羄膈芇薈膆莃蚆薇袆芆薂薆羈蒁蒇薅肀芄莃薄膃肇蚂薃袂芃薈蚂羅肅蒄蚂肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿蚅虿肁膂薁蚈膃莇蒇蚇袃膀莃螆羅莆艿螆肈腿薇螅螇莄蒃螄羀膇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄肈薀螀羆芃蒆袀聿肆莂衿螈节芈袈袀肅蚆袇肃芀薂袆膅膃蒈袅袅莈莄袄羇膁蚃袄聿莇蕿羃膂腿蒅羂袁莅莁薈羄膈芇薈膆莃蚆薇袆芆薂薆羈蒁蒇薅肀芄莃薄膃肇蚂薃袂芃薈蚂羅肅蒄蚂肇芁莀蚁袆肄莆蚀罿荿蚅虿肁膂薁蚈膃莇蒇蚇袃膀莃螆羅莆艿螆肈腿薇螅螇莄蒃螄羀膇葿螃肂蒂莅螂膄芅蚄螁袄肈薀螀羆芃蒆袀聿肆莂衿螈节芈袈袀肅蚆袇肃芀薂1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积山西省教育科学研究院薛红霞一、内容与内容解析本课时的内容是柱体、锥体、台体的表面积与体积。是“空间几何体的表面积与体积”的一部分。该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的问题。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过化归解决新问题。课程标准的要求是：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式（不要求记忆公式）。而且，新课程的编排体系是从整体到部分，从宏观到微观，也即在本课时学习之前学生对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知，所以，在本课时中只能通过直观感知、合情推理的方式展开教学。据此确定本课时的教学重点是：通过解决棱柱、棱锥、台的表面积和体积问题培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力。二、目标与目标解析1．了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式。（能解决练习中的问题。）2．在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。3．培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。三、教学问题诊断分析本课时的一些内容学生在小学阶段就已经熟悉，但是当时学生是通过实验得到的，通过本课时的学习应该使学生的认识在理性方面有所提高，但是理性分析的基础又不具备，这是一对矛盾。因此若处理不当，就不可能激发学生进一步研究的欲望，降低了课堂教学的效果。因此确定本课时的教学难点是：台体的表面积与体积问题，以及适度理性分析的渗透。四、教学支持条件分析本课时涉及到的内容比较多，而且其中很多都是再现性的，因此必须借助适当的信息技术手段提前将需要再现的图形准备好，提高课堂教学的效率。五、教学过程设计引言：通过学习空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图和直观图，我们了解了空间几何体与平面图形之间的关系。从中反映出一个思想方法，即平面图形与空间几何体的互化，尤其是空间几何体问题向平面问题的转化，这种化归的思想方法将贯穿立体几何的研究过程，是一个重要的思想方法，在今后的学习中大家应该重视这一思想方法的应用。本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积与体积。空间几何体的表面积是几何体表面的面积，即几何体各个面的面积的和。空间几何体的体积是几何体所占空间的大小。 问题1（1）完成表1，并试着完成表2空间几何体的侧面积与表面积公式两列。（2）比较表1和表2中你完成的部分，是否蕴含着上述化归思想，并请具体给出阐释。（设计意图：通过完成（１）达到帮助学生复习、同时了解学生基础的目的。通过完成（２）进一步明确化归思想方法，为后继解决问题提供思路。）预设的答案：学生可以完成表１，并填出表２中正方体、长方体的表面积，圆柱、圆锥的侧面积和表面积。其中扇形的面积公式需要进一步转化为利用弧长和半径表达的形式。在教师的引导下，学生了解其中蕴含的空间几何体问题可以转化为平面几何问题求解的数学思想方法，运用这种方法时，第一步是要得到空间几何体的展开图；第二步是依次求出各个平面图形的面积；第三步将各平面图形的面积相加即可。备用图：图1正方体及其展开图图2长方体及其展开图图3圆柱及其展开图图4圆锥及其展开图h图5六棱柱及其侧面展开图问题２ 类比上述求法，利用化归的数学思想方法，完成下列任务：（1）完成练习1；（2）思考如何求出任意一个棱锥的表面积？它与哪些平面图形有关系？之后在表2中写出求这类空间几何体的表面积的思路。练习1如图6，已知棱长为a，各面均为等边三角形的三棱锥S-ABC，求它的表面积． D图6（设计意图：巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间，同时通过据题问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础。）预设的答案：先完成练习1，之后抽象得出一般解法：将求棱锥的表面积问题转化为求平面图形的面积，即求围成空间几何体的各个面的面积之和。棱锥的表面积与三角形，多边形的面积有关。问题３ 类比上述方法，说出求棱台的侧面积和表面积的一般思路。（设计意图：巩固已有方法，解决新问题。但是本问题的解答还与台体的结构特征有关。对于棱台的侧面积与表面积问题，只要给出思路即可。）预设的答案：（略）练习２如图7，四棱台的上下底面均是正方形，边长分别是8cm和14cm，侧棱长都是5cm，求它的侧面积。h'h'图7四棱台及其侧面展开图问题4 类比上述方法，求圆台的侧面积和表面积，数据如图8所示。ｈ 图8圆台及其侧面展开图（设计意图：巩固已有方法，解决新问题。）预设的答案：（略）问题5完成表2中的“体积公式”一列。你会求体积的，直接填写公式；你不会求体积的，思考如何转化问题使之得到解决。（设计意图：通过完成这个问题达到复习和检验学生基础的目的，同时引导学生类比空间几何体表面积问题的解法，寻找到空间几何体的解法。）预设的答案：学生可以填写出正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积。辅助问题1：将正方体、长方体的体积公式分别改写为：，其中h=a；，其中h=c.据此猜想棱柱的体积公式是什么？预设的答案：，其中h表示棱柱的高。辅助问题２：根据圆锥体积与圆柱体积的关系，猜想棱柱的体积公式是什么？预设的回答：，其中h表示棱锥的高。方案1辅助问题３：我们知道等底同高的三角形的面积相等，类比这个结论针对三棱锥你能得到什么猜想：预设的答案：如果两个三棱锥的底面积相等，高也相等，那么这两个三棱锥的体积相等。教师利用模型进行解释：1）这个猜想是正确的，请大家课后阅读祖暅原理；2）利用模型解释：。图9 方案2教师解释：这个猜想是正确的，请你阅读“探究与发现”对这个问题做进一步的探讨。（设计意图：避开“高”概念，但是又渗透进一步研究的意识。）辅助问题４：类比棱台、圆台侧面积的求法，你能解决求棱台、圆台体积的问题吗？如何求？如图，设圆台的上下底面积分别为s’和s，高为h，试求其体积。预设的答案：转化为棱锥、圆锥的体积差问题求解。预备的解决过程（以圆台为例）：如图10，设，上下底面的半径分别为和r，圆台的上下底面积分别为和s．ｈ∴图10点评：对于棱台的面积的求法，可以类比上述方法求解。机动练习3：看图填空：几何体=10=5=13=5=10ｈ=12=6表面积体积机动练习4：四棱台的上下底面均是正方形，边长分别为3cm和5cm，高是6cm，求此棱台的体积。图11 （设计意图：检验教学效果。）问题6：结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征，再观察他们的表面积公式、体积公式，你能发现什么关系？ （设计意图：从运动变化的观点分析三者之间的关系。）预设的答案：圆柱、圆锥、圆台的表面积：柱体、锥体、台体的体积之间的关系：问题7：（1）通过本节课的学习你有什么收获，请从数学知识、思想方法，解决问题的经验等方面谈谈。（2）在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑？（设计意图：问题（1）是引导学生对本课时的学习进行归纳总结；问题（2）引导学生对合情推理过程进行质疑，培养学生思维的严谨性，同时激发学生进一步探究的好奇心，为第二章的学习埋下伏笔。）作业：．P27练习，习题1.3A组1，2，3。（设计意图：初步运用公式解决问题。） 表1部分平面图形的面积表2部分空间几何体的表面积与体积名称面积公式名称侧面积公式表面积公式体积公式a正三角形正方体三角形长方体a正方形棱柱矩形三棱锥ha平行四边形棱锥梯形三棱台……棱台圆圆柱l扇形圆锥……ｈ圆台 六、教学设计时的困惑与解决办法在进行本课时的教学设计过程中感到很困难，这是在其他内容的教学设计中没有的。1．课时与容量的问题。“1.3空间几何体的表面积与体积”共2课时，包括柱、锥、台、球的表面积与体积，还有14道题目（练习和习题），4道例题，其内容兼具复习课与新课的性质，即有直接应用新知识的题目，也有简单综合、探究题目，而且还包括公式的逆向应用。所以首先感觉到容量大，即使不做教辅资料上面的题目，在2课时内完成教材上的内容，也是比较困难，尤其是对中差等的学校。如何解决这个问题，经过思考，我解决的办法时，有机整合，重新划分2课时。第一课时：侧重基本知识的获得和研究方法的学习。在这一课时中从学生熟悉的平面图形的面积，空间几何体的表面积、体积公式的复习开始，通过对这些内容的进一步分析，获得解决问题的思路和办法，即通过立体图形向平面图形的转化，借助平面图形的基本知识解决空间几何体的问题，并把这种化归的思想进一步推广应用到台体的体积问题的解决。用研究方法这条线串联起本课时的学习，并通过本课时的学习使得学生初步会用公式解决简单的问题。该课时的课后作业是公式的基本应用，不涉及综合与逆用，这样通过作业使得学生熟悉基本公式，为下一课时的学习奠定基础。第二课时：公式的综合应用和逆用，包括完成教材中的例2和例3，学习球的表面积与体积及相关应用。2．课标要求与教材处理的问题。如果按照上述教学过程教学，最大的困惑在于：这样做是否不符合课标的要求，这一部分内容在整个高中阶段到底应该达到一个什么程度？“课程标准”对这部分内容的要求是“了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式（不要求记忆公式）”，在后续也没有提出更高的要求。那么上述的教学设计和教材中的题目是不是超标了，应该怎么理解这个问题？而且教材在旁白中还指出台体的体积公式可以证明，但若要证明又存在一个初高中衔接的问题，所以我将之设计为一个机动内容，供学有余力的同学学习。真是处处为艰。通过这次备课，我深切的感受到一线教师的不易。3．实验与严谨的问题。这一节中的部分内容，学生在小学、初中阶段就比较熟悉，但是要求不同，义教阶段更强调实验、直观和应用，那么到了高中阶段是否应该提升学生的理性认识呢？但是课标的编排是从整体到 部分，从宏观到微观，所以学生在学习这部分内容时，还是只能直观感知，那么这样做就不可能超越义教阶段形成的认识。如果在认识上没有突破那么本课时的教学效果就相当于是再给几个公式让学生去用而已，谈不上实现数学教育的功能。对此，在教学设计过程中设计了多处合情推理，类比猜想，在最后的小结中希望引导学生质疑本课时中存在的不严谨之处，如空间几何体的高、棱台侧面积能转化为梯形的面积等问题，通过质疑激发学生进一步研究的欲望，培养学生严谨的思维。七、设计思路1．以研究方法及学生的认知发展规律为主线，旨在发挥数学的教育功能。2．注重先行组织者的作用——解释研究方法。3．注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注意学生欠缺的知识，并采取适当的处理方法。4．设计学案提高课堂教学效率，利用信息技术展示图形旨在有效使用45分钟。信息技术的使用力求简朴。5．使作业成为课堂教学的必要延伸和联结。6．注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。7．注重直观感知，合情推理，但是争取不失时机的进行说理和推理。8．教材处理有变化，但变化中有不变的规律——尊重教材的处理思路。教师在研读教材时不但要看显性的知识，还要看隐性的知识。明线暗线相统一。9．注重隐性知识的显性化，注重生成与落实，如圆台表面积形式与梯形面积公式的对比等。10．力求形成自然的过程。11．落实与完整不可兼得时选择“断臂维纳斯”之美。注重生成。12．难点：扇形——圆锥的侧面积——圆台的侧面积，进行板书。13．讲问题分化：表面积分化为侧面积与底面积。14．新课程理念的实施要注意形式为内容服务。15．给学生思考的机会，而不是模仿。布置任务之后学生去思考，而不是讲解思路后学生完成。16．学生的思维从具体的问题开始，所以通过练习1练习2上升到一般。17．注重联系的观点和运动变化的观点，辩证统一。八、教学反思与刘老师上课的六点不同：１．怎样让更多的学生动：刘老师——一个学生讲大家听；大家思考后由学生讲。２．提问：在一个环节一个环节的过渡中才提问，薛老师的提问：葡萄上的串干。对学生的发展好。2008年11月12日孝义中学：蔡雪梅：设计合理，关注学生，合作探究。     本课时中很多学生学过，用了１５分钟问答，行为上的参与，思维上原地踏步，包括听课老师也不用动脑子。用提问的方式灌。参与探究没有真正动起来。     思想方法提炼的比较少，方法都有，但是没有上升到理论高度。      薛：注重过程，发现，参与。数学思想方法渗透好，通过问题挖掘学生思维的潜能，积极调动学生思维的参与；关注问题的探究性，通过设置问题引发学生探究。学生的学习任务很明白，学案的作用；共同：恰当应用信息技术的使用。问题：练习少了一点；能不能把问题抛给学生，要求学生回答，转化为让学生提出问题解决。——研究性学习课题，放给学生。：提前发学案，上课学生就填起了。老师不放心，带领学生一步一步走。课时少进度快，要让学生动脑，探索问题。中阳中学：刘汶福毕竟是一个示范课，刻意准备一些东西。——平常心对待公开课，永远把握教学的规律。思想和方法要改变：相信学生，放开学生，学生放开，自己思维放开。课时少。课堂上起监督的作用。学案教学，优点是，看课本影响不一定深。检查学生。贺昌中学高永亮：讲课方式超前，所以导致学生不是很配合，学生不适应，以后向这个方向改进。提的思想比较多，作为高一的学生可以提出，但是可以相对缓慢。——思想要落实，三棱锥引进来，实物处理。李丽军：王老师：理念不同，导致不同的教学模式。所以是不是要追求理念的转变。注重意识形态。一个门外汉：前一节很好，本节课体现了专家型的，因班施教，因材施教。思考一个问题：今年的中考题，按照这样的教课，学生的均分，及格率能多少。说能力没能力，讲课怎样和做题结合起来。——从长期看，而不是每一节课都要完整的环节。刘应平：整体思路是：知识的链接，通过问题的导航，只是提问方式不同。形成知识的网络，虽然没有显性化。淡化概念注重知识的适用性，通过典型例题。同样一节课不同的教师去讲为什么产生不同的效果。教师思维的层次性。表象的处理，还是思维层次的。薛：学生学起来有味。刘：平稳，学生吃不够。教材处理和教师的功底关系搞清楚。课前教师的准备问题，对初中教材熟悉。常磊：最大的不同是理念的不同，理念决定行动。了解推导，体会空间图形转化为平面图形。与学生了解：这节课与小学初中的有什么区别？难了。不要求记忆讲什么？薛老师，完成课标的任务。刘：如果是不听课，体积也能讲完，因为后面还剩了那么多时间？学生说函数题难，需要老师的帮助是思路的分析。四点：教学的规律是什么？教学中的不变量是什么？学习是需要学习者来亲身体验，模型不做是不是就想不出来呢？暴露思维过程，推迟判断。处理好预设与生成。命题的思路：研究教材，研究数学，研究课标，落实基础，发展思维。 陷校长：刘：讲解清楚，注重调动学生，提问多，但是思考时间少，讲的有点多。动手探索少了，对学生的思维没有好处。讲上十几分钟后学生就不想听了。薛：站的高，思想统领，思维调动，思考以后再问。注重讲练结合，时间各半，学生练习，老师点，注重学生的探索。难点突破不错。有点容量大。不要脱离学生，塑造了比较理想的落实新课程的课堂模式。让学生充分思考否则都是０。模式好容量思考。给学生留下时间。蚁羀羈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆莄衿羃膂莃羁芈蒁莂蚁肁莇莁螃芇芃莀袆肀腿荿羈袂蒇葿蚈肈莃蒈螀袁艿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁袃羄蒃薀蚃腿荿蕿螅肂芅薈袇芈膀薇羀肀葿薇虿袃莅蚆螂聿芁蚅袄袂膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莈蚁羀羈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆莄衿羃膂莃羁芈蒁莂蚁肁莇莁螃芇芃莀袆肀腿荿羈袂蒇葿蚈肈莃蒈螀袁艿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁袃羄蒃薀蚃腿荿蕿螅肂芅薈袇芈膀薇羀肀葿薇虿袃莅蚆螂聿芁蚅袄袂膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莈蚁羀羈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆莄衿羃膂莃羁芈蒁莂蚁肁莇莁螃芇芃莀袆肀腿荿羈袂蒇葿蚈肈莃蒈螀袁艿蒇羂肆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节薃蚈羆膈薂螁膁肄薁袃羄蒃薀蚃腿荿蕿螅肂芅薈袇芈膀薇羀肀葿薇虿袃莅蚆螂聿芁蚅袄袂膇蚄薃肇肃蚃螆袀蒂蚂袈膅莈蚁羀羈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈蝿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆莄衿羃膂莃羁芈蒁莂蚁肁