永城高中高一i部数学学案30-柱体、锥体、台体、球的表面积与体积

永城高中高一（1）部数学学案（30）（加强班）柱体、锥体、台体、球的表面积与体积学案撰写人：孟丽梅打印人：张晓一、学习目标：1.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。2.会应用空间几何体的表面积与体积公式解决实际问题。二、学习方法指引：1.预习课本23页到28页并做课后练习。2.结合学案理解公式，并准确记忆。熟练记忆。3.用联系、类比运动变化的思想推导公式。三、基础知识再现：1.柱体的侧面展开图是的平面图形；棱锥的侧面展开图是的平面图形；棱台的侧面展开图是的平面图形。2.叫做多面体的表面积（又称全面积）。3.圆柱的侧面展开图式；圆锥的侧面展开图式；圆台的侧面展开图是由一个大扇形截去一个小扇形所得到的。①圆柱表（为底面圆的半径，为圆柱的母线长）；②圆锥表（为底面圆的半径，为圆锥的母线长）；③圆台表（为下底面圆的半径，为上底面圆的半径，为圆台的母线长）。4.几何体的体积是几何占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积；②体积相等的几何体叫；③两相等体积的几何体的形状相同；④底面积相等，高相等的两个柱体（或锥体）体积。球的表面积公式：球面。（为球半径）体积公式：球。（为球半径）5.①柱体的体积公式：柱体（为底面面积，为柱体的高）；②锥体的体积公式：锥体（为底面面积，为锥体的高）；③台体的体积公式：台体（，为两底面面积，为台体高）。四、对公式的理解：1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图面积，因此弄清楚侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键。2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题。3.球的截面的性质球的半径为，截面圆的半径为，球心到截面圆的距离为，则满足.4.对于一个几何体，若体积一定，则这个几何体是球时表面积最小；反过来，若表面积一定，则球的体积最大。5.解决球与其它几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的。6.两个常用结论：（1）球的内接长方体的体对角线长是球的直径；（2）棱长为的正方体的外接求得半径为。五、典型例题：例1如图所示，底面为菱形的直棱柱的两4 个对角面和的面积为6和8，则棱柱的侧面积为。解析求底面菱形的边长及侧棱的长，代入侧面积公式计算。设底面边长为，高为，则有,，侧.故填20.答案20规律总结解决与直棱柱侧面积有关的问题，其关键是抓住棱柱的侧面积公式；其次要注意利用直观图的形象直观来分析问题，要注意方程思想、“设而不求”等思想方法的灵活运用。例2如图所示，已知六棱锥，其中底面是正六边形，点在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2cm，侧棱长为3cm，求六棱锥的表面积和体积。解析本例主要考查棱锥（锥体）的体积公式。先求底面正六边形的面积。答案六边形ABCDEF，侧，六边形ABCDEF侧。在中，，六棱锥P-ABCDEF.例3已知球的两平行截面的面积为和，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积。解析要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面（过直径的球的平面）。答案如图所示，设以为半径的截面面积为，以为半径的截面面积为，，球的半径为，，那么可得下列关系式：且，且，于是，于是，，即，又，即，又，，，.球的表面积为.规律总结球的轴截面（球的过直径的截面）是将球的问题（立体问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题。六、课堂练习巩固与提高1.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为，这个长方体对角线的长是（）A2BC6D2.用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的侧面积为（）ABCD84 3.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）ABCD4.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）正（主）视图侧（左）视图俯视图ABCD5.已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为（）ABCD6.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比是（）ABCD7.正方体的内切球与外接球的半径之比为（）ABCD8.一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积之比是（）ABCD9.五棱台，的表面积是30，侧面积等于25，则两底面积的和等于（）ABCD10.六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）ABCD11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为。正视图侧视图俯视图12如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为三个全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）.正视图侧视图俯视图ABCD13.圆锥的高扩大为原来的倍，底面半径缩小为原来的倍，那么它的体积变为原来的（）4 A1倍B倍C倍D倍14.已知高为3棱柱的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥的体积为（）ABCD15.圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是（）A6:5B5:4C4:3D3:216.一个圆柱的底面面积为，侧面展开图式正方形，那么该圆柱的侧面积为（）ABCD17.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为。18.圆台上、下底面面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积是。19.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是。20.已知高与底面直径之比为2:1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为，则球的体积为。21.已知三角形得边长分别是，以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得几何体的体积是。22.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是23.长方体满足：，则其外接球的表面积为。24.圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8:3，求圆台的全面积。25.已知底面半径为cm，母线长为cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积和体积。26.一个球浮在水面上，水结冰后将球取出，留下一个圆面直径为24cm，深为8cm的空穴，求该球的表面积。4