高中数学 1-3-2柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学案 新人教版必修2 学案

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-2柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积[学习要求]1．掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；2．了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；3．会求简单组合体的体积及表面积．[学法指导]通过对几何体的体积及球的体积和面积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心.注意：1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题．2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填空题.1．柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体＝(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝(r为底面半径) 锥体V锥体＝(S为底面面积，h为高)，V圆锥＝(r为底面半径)台体V台体＝(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝(r′，r分别为上、下底面半径)2.球的体积：球的半径为R，那么它的体积V＝.3.球的表面积：球的半径为R，那么它的表面积S＝.一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，问题1 我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如何表示？答 V正方体＝a3，V长方体＝abc，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h.问题2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答 如果设S为底面面积，h为高，一般柱体的体积公式为V柱体＝Sh.问题3 等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如何？答 从圆柱和圆锥的体积公式，得等底、等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；等底等高的圆锥、棱锥之间的体积相等．问题4 根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？ 答 V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．问题5 台体的上底面积S′，下底面积S，高h，则台体的体积是怎样的？圆台的体积公式如何用上下底面半径及高表示？答 V台＝(S′＋＋S)h.V圆台＝(S′＋＋S)h＝πh(r2＋rR＋R2)．(r、R分别为圆台上底、下底半径)一、棱柱、棱锥、棱台的体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用．1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(  )．A．6B．12C．24D．48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.∴V长方体＝2×4×6＝48.答案 D2.直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为      （    ） A．V/2         B．V/3  C．V /4        D．V/5 ==3.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为________．答案 解析 本题考查几何体体积的求法，易知正三棱锥的侧棱长为，则其体积为()3＝.(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为a、b、c，则其体积为abc)．4.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为() A.        B.C.D.答案 D解析 设B、D、C重合于G。5.（2012上海文数）已知四棱椎的底面是边长为6的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是96。解析：考查棱锥体积公式6.(2012·新课标)已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(  )A.       B.C.D.【解析】 ∵SC是球O的直径，∴∠CAS＝∠CBS＝90°.∵BA＝BC＝AC＝1，SC＝2，∴AS＝BS＝.取AB的中点D，显然AB⊥CD，AB⊥CS.∴AB⊥平面CDS.在△CDS中，CD＝，DS＝，SC＝2，利用余弦定理可得cos∠CDS＝＝－.故sin∠CDS＝.∴S△CDS＝×××＝，∴V＝VB－CDS＋VA－CDS＝·S△CDS·BD＋S△CDS·AD＝S△CDS·BA＝××1＝.【答案】 A7.（2012江西理数）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则， ，的大小关系为。【答案】【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。8. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(  )A.B.C.D.解析 V＝Sh＝××3＝.答案：D9. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析 利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1E＝S·△D1DE×AB＝××1×1×1＝.10.（2011山东文数）如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.【解析】以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故.【答案】11. 如图所示的三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝，PC＝，求其体积．(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直)解 由题意知PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA垂直平面PBC.所以PA是三棱锥A—PBC的底面PBC上的高，且S△PBC＝·PB·PC＝(因PB⊥PC)，∴V三棱锥P—ABC＝V三棱锥A—PBC＝·PA·S△PBC＝××＝＝，即三棱锥P—ABC的体积为.12.在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，P、Q是对角线AC上的点，若PQ=，则三棱锥P-BDQ的体积为（） A．B．C．D．不确定答案：A13.．四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积（）A．B．C．D．以上全不正确答案：A14.（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于(B)（Ａ）  （Ｂ）  （Ｃ）  （Ｄ）【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则∴∴∴故选B【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；15.如图，三棱柱上一点，求．解法一：设的距离为把三棱柱为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍. 解法二：小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换.例设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(  )A．6B.C．2D．2解析 因正六棱锥的高为＝2，所以V＝Sh＝×6××2＝.例如图所示，已知高为3的棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为(  )A.        B.C.D.[答案] D[解析] ∵棱柱的高为3，∴B′到底面ABC的距离，即棱锥B′－ABC的高为3，∴体积V＝××12×3＝.例(09～10学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为(  )A．1B.C.D.[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．体积V＝××1×1×1＝. 例一密闭正三棱柱容器内装有液体，该三棱柱容器内底面正三角形边长为2，棱柱的内高为3，将一侧面置于水平桌面上，测得液体高度为，现将容器底面放于水平桌面上，则容器内液面高度为(  )A.B.C.D．3[答案] C[解析] 由题意可知，侧面置水平桌面上时，容器内的液体是一个四棱柱，高为3，底面是一梯形，梯形的下底是2，高是，可求得上底长为1，故体积V＝×3＝，设直立正放于桌面上时，液面高度为x，则×22×x＝，∴x＝.例已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为(  )A．32B．28C．24D．20[答案] B[解析] 上底面积S1＝6××22＝6，下底面积S2＝6××42＝24，体积V＝(S1＋S2＋)·h＝(6＋24＋)×2＝28.例已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别在侧棱A1A和C1C上，且AP＝C1Q，则四棱锥B－APQC的体积是(  ) A.VB.VC.VD.V[答案] B[解析] VB－APQC＝VB－ACC1A1＝VB－ACC1＝VC1－ABC＝V.例(2010·天津理，12)一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为________．[答案] [解析] 由三视图知，该几何体由一个高为2，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝.例(08·江西理)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：________(写出所有真命题的代号)．[答案] ②④ [解析] ∵正放时，里边有一个正四棱锥实心装饰块，正放与倒置时，水面都经过正四棱锥顶，容器内水的体积一定，∴①错，④对．侧面水平放置时，正四棱锥的体积，在水面上、下各一半，容器的容积上、下各一半，∴水面恰好过点P，但任意摆放时，水面上、下部分正四棱锥体积不等，故水面不过P点，②对，③错．例(09·天津文)如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3，求a的值．[解析] 由三视图知，几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱．∴V＝×2×a×3＝3，∴a＝.例(07·宁夏、海南)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(  )A.cm3B.cm3C．2000cm3D．4000cm3[答案] B[解析] 由俯视图知此几何体的底面为一个边长为20的正方形，结合正视图、侧视图知，此几何体为四棱锥，高为20，所以其体积为×20×20×20＝cm3，故选B.例如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。例已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求这个四面体体积的所有可能的值。解：根据已知条件及构成三角形的条件满足要求的四面体应分为三类。 （1）如图1，四面体各棱AB=AC=AD=2，BC=CD=BD=1，则AO=，所以四面体的体积V=。 （2）如图2，四面体各棱AC=AD=2，AB=1，BC=BD=2，CD=1，设M、N分别为AB、CD的中点，AM=。。 四面体的体积为V= （3）如图形，四面体各棱AB=AC=AD=2，BD=BC=2，CD=1，设M、N分别为AB、CD的中点，AM=，四面体的体积为V=故四面体的所有可能的体积为或或 二、旋转体的体积1.(2012·上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．【解析】 如图，由题意知πl2＝2π，∴l＝2.又展开图为半圆，∴πl＝2πr.∴r＝1，故圆锥的高为，体积V＝πr2h＝.2．已知圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是(  )．A.πB．2C.πD.π解析 S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝.∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.答案 D3．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．解析 由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π×22×2＝，∴所求几何体体积为16π－＝.答案 4．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．解析 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝×π×12×2＝＝.答案  5．若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积．解 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．设CD＝x，AB＝x，则AD＝AB－CD＝，BC＝x.S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·AD·BC＝π·＋2π··x＋π·×x＝πx2.根据题设，πx2＝(5＋)π，则x＝2.所以旋转体体积V＝π·AD2·CD＋·AD2·(AB－CD)＝π×12×2＋×12×(3－2)＝π.例圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，求圆柱的体积．解 设圆柱底面半径为rcm，高为hcm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则∴.∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3)．∴圆柱体积为250πcm3.例若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则∴∴h＝.例若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则∴∴h＝.例已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是(  )A.B. C.D.[答案] D[解析] 设圆柱底面半径为r，高为h，则，∴r＝，h＝.∴V＝πr2·h＝π2·＝.例体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(  )A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3[答案] A[解析] 由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26，∴小圆锥体积为2cm3，故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.例(09～10学年泰安高模)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为(  )A．8B．2πC．4πD．π[答案] D[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为1，高为2的圆柱，沿经过轴的截面分割开的半个圆柱，故其体积V＝(π×12)×2＝π.例圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(  ) A．1:1B．1:6C．1:7D．1:8[答案] C[解析] 如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，∵O′为PO中点，∴PO′＝，∵＝＝，∴O′A＝，∴V圆锥PO′＝π·2·＝πR2h.V圆台O′O＝··＝πR2h.∴＝，故选C.[点评] 由圆锥的平行于底面的截面性质，截得小圆锥与原来圆锥的高的比为1:2，故体积比为1:8，因而上、下两部分体积比为1:7.例用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1:3，这截面把圆锥母线分为两段的比是(  )A．1:3B．1:(－1)C．1:9D.:2[答案] B[解析] 由面积比为1:3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1:，故截面把圆锥母线分为1:(－1)两部分，故选B.例圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是______．[答案] cm3 [解析] 180°＝×360°，∴l＝20h＝10，V＝π(r＋r＋r1r2)·h＝(cm3)．例已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为________．[答案] 7π[解析] 由已知圆台上、下底面积分别为S上＝π，S下＝4π.则V圆台＝·(π＋＋4π)·3＝7π.例底半径为1，高为1的圆柱，内接长方体如图，设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1－ABCD的体积为V，设矩形ABCD的一边长AB＝x.(1)将S表达为x的函数；(2)求V的最大值．[解析] (1)∵矩形ABCD内接于圆O，∴AC为⊙O的直径，∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝，∴S＝AB·BC＝x(0