人教A版必修二第1章1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积

1.3空间几何体的表面积与体积1．3.1柱体、锥体、台体的表面积 1．侧棱长为5cm、底面边长为6cm的正三棱锥的表面积为___________.解析：如图8中的正三棱锥S－ABC，过S作SD⊥BC，垂足为D，图8 2．已知正四棱台的上、下底面的边长分别是4cm和8cm，侧棱长为8cm，则正四棱台的表面积为____________.图9解析：如图9，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1， 3．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为()CA．2B．2.5C．5D．10解析：设母线长为l，由π(1＋3)l＝2π(12＋32)得l＝5.36个几何体的表面积是___cm2.图14．棱长为1cm的小正方体组成如图1的几何体，那么这 重点柱、锥、台的表面积公式及应用1.已知正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2；已知长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则该长方体的表面积是2(ab＋bc＋ac)．2.(1)圆柱的侧面展开图是矩形，当底面半径为r，母线长为l时，圆柱的表面积为S＝2πr2＋2πrl；(2)圆锥的侧面展开图是扇形，当底面半径为r，母线长为l时，圆锥的表面积为S＝πr2＋πrl；(3)圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l时，圆台的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． 难点圆锥、圆台的侧面展开图1.圆锥的侧面展开图是扇形，当底面半径为r，母线长为l2.圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l时，扇环的圆心角θ＝r－r′l×360°. 最基本几何体的运算例1：如图2，已知四边形ABCD为直角梯形，AB⊥AD，DC∥AB，且边AB、AD、DC的长分别为7cm，4cm，4cm，分别以AB、AD、DC三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积．图2 解：作CE⊥AB于点E，(1)以AB所在直线为旋转轴(此时旋转得到一圆锥和一圆柱的组合体)：S1＝8π×4＋π×4×5＋π×42＝68π.(2)以AD所在直线为旋转轴：S2＝π×42＋π×72＋π×(4＋7)×5＝120π.(3)以DC所在直线为旋转轴：S3＝5π×4＋2π×4×7＋π×42＝92π. 3×4，解：以AB所在直线为旋转轴：S＝4π(4＋5)＝36π，以AC所在直线为旋转轴：S＝3π(5＋3)＝24π，以BC所在直线为旋转轴：此时所得几何体为两个圆锥的组合体，则BC边上的高AD＝5＝1251－1.已知△ABC三边AB、AC、BC长分别为3cm，4cm，5cm，分别以三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积． 由三视图求几何体表面积例2：一个正三棱柱的三视图如图3，求这个正三棱柱的表面积．图3由侧视图知正三棱柱底面三角形的高为解：由三视图知正三棱柱的高为2mm. 利用三视图求几何体表面积的关键，是正确理解和认识三视图中所给量与几何体中量之间的对应关系．∴正三棱柱的表面积为 2－1.(2010年安徽)一个几何体的三视图如图4，该几何体)B的表面积是(A．372C．292图4B．360D．280 几何体表面积的最值问题例3：如图5，圆台上、下底面半径分别为5cm,10cm，母线长为20cm，从母线AB的中点M拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的B点，求B、M间细绳的最短长度．图5 ，∴SA＝20cm.解：如图6，沿BA所在母线将其展开，易知最短长度即为线段B、M的长度．设圆锥顶点为S，△SBC是其轴截面，则510＝SASA＋20∴△MSB′是直角三角形．图6＝50(cm)．即M、B间细绳的最短长度为50cm. 求旋转体或多面体侧面上两点间的最短距离的思路：将其转化为平面图形，在平面图形上求出的两点间线段的长度就是两点间的最短距离． 图7解：沿A、B所在棱将三棱锥侧面展开，则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度．又OA＝4cm，OB＝3cm，∠AOB＝90°，∴AB＝5cm.故此绳在A、B间最短的绳长为5cm.3－1.如图7，在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条棱上有A、B两点，OA＝4cm，OB＝3cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B之间的最短绳长． 例4：用一张长为8cm，宽为4cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积和底面积．错因剖析：将矩形硬纸卷成圆柱有两种不同卷法，很容易丢解．正解：设卷成的圆柱的母线长(即高)为h，底面半径为r，则 4－1.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图为一个正方形，)那么这个圆柱的侧面积是(A．4πSB．2πSC．πSA解析：设底面半径为r，故S＝πr2.由侧面展开图是正方形，