2020_2021学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修2

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各个面的面积的和,也就是展开图的面积. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积:S底=πr2侧面积:S侧=2πrl表面积:S=2πrl+2πr2圆锥底面积:S底=πr2侧面积:S侧=πrl表面积:S=πrl+πr2 图形表面积公式旋转体圆台上底面面积:S上底=πr′2下底面面积:S下底=πr2侧面积:S侧=πl(r+r′)表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl) 【思考】圆台侧面积公式是如何推导出来的?提示:如图所示,S圆台侧=C·(l+x)-C′·x=.因为,所以x=,代入上式得S圆台侧==(C+C′)l=π(r+r′)l. 3.体积公式(1)柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.(2)锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.(3)台体:台体的上,下底面面积分别为S′,S,高为h,则V=(S′++S)h. 【思考】将台体的上底面缩小或扩大,分析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么?提示: 【思考】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个几何体的展开图有多种形式,所以其表面积是不确定的.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.() (3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥.()(4)圆台的高就是相应母线的长.() 提示:(1)×.不同的展开方式,几何体的展开图不一定相同,但其表面积唯一确定.(2)×.锥体的体积等于底面面积与高之积的.(3)√.沿着三棱柱的三个面对角线,其中有两对共点,将三棱柱割开,则这三个三棱锥的体积相等,所以该命题正确. (4)×.圆台的高是指两个底面之间的距离. 2.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是()A.2cmB.3cmC.4cmD.8cm 【解析】选C.因为铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm,所以铜质的五棱柱的体积V=16×4=64(cm3),设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm,则a3=64,解得a=4. 3.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为() A.48B.64C.80D.120【解析】选C.据三视图知,该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8),直观图如图, PE为侧面△PAB的边AB上的高,且PE=5.所以此几何体的侧面积是S=4=4××8×5=80(cm2). 4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其体积等于________.【解析】V=π(12+1×2+22)×6=14π.答案:14π 类型一 柱体、锥体、台体的表面积【典例】1.(2018·全国卷I)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12πB.12πC.8πD.10π 2.将圆心角为120°,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为________.3.一个棱锥的三视图如图所示: (1)借助图中的长方体画出此棱锥的直观图. (2)求该棱锥的表面积(单位:cm2). 【思维·引】1.先根据已知截面的形状和面积计算圆柱的底面半径和高,再计算圆柱的表面积.2.由圆锥的侧面积列方程求母线,由圆锥底面周长即侧面展开图扇形的弧长,列方程求底面半径,最后求圆锥的表面积. 3.(1)找准棱锥的底面和顶点位置,画出直观图.(2)分析四个表面三角形的形状,求各面积之和. 【解析】1.选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=π·()2·2+2π··2=12π. 2.设圆锥的母线长为l,半径为r,因为120°=,所以πl2=3π,所以l=3,又2πr=×2πl,所以r==1,所以S圆锥表=πr2+3π=4π.答案:4π 3.(1)如图所示,该三棱锥的直观图是三棱锥P-ABD,其中P是B′D′的中点. (2)取BD中点O,取AD中点E.连接OE,PE,由已知得AD=AB=6(cm),AB⊥AD,PO=4(cm),PB=PD.S△ABD=6×6×=18(cm2),S△PBD=×6×4=12(cm2).因为PO⊥OE, 所以PE===5(cm),所以S△PAB=S△PAD=×6×5=15(cm2),所以S表=18+12+15+15=(48+12)(cm2). 【内化·悟】求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求哪些几何量?这些几何量都集中体现在哪个截面中?提示:求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求母线和底面半径,这些几何量都集中体现在旋转轴的截面中. 【类题·通】空间几何体的表面积的求法技巧:(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. (3)棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解. 【习练·破】(2019·亳州高一检测)如图,正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别为上、下底面的中心,其上、下底面边长及高分别为1,2,2. (1)求它的斜高.(2)求它的表面积.(注:正三棱台的底面是正三角形,侧面是全等的等腰梯形,斜高是侧面梯形的高) 【解析】(1)如图所示,D1,D分别为A1B1和AB的中点,则O1D1=,OD=,OO1=2,在直角梯形O1D1DO中,DD1===,即该正三棱台的斜高为. (2)该正三棱台的表面积为×(1+2)××3+×12+×22=. 【加练·固】1.已知正方体的8个顶点中,有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点,则这个三棱锥与正方体的表面积之比为() A.1∶B.1∶C.2∶D.3∶ 【解析】选B.棱锥B′-ACD′为适合条件的棱锥,四个面为全等的等边三角形,设正方体的棱长为1,则B′C=,S△B′AC=.三棱锥的表面积S锥=4×=2,又正方体的表面积S正=6.因此S锥∶S正=2∶6=1∶. 2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7. 类型二 柱体、锥体、台体的体积角度1等体积变换法求体积【典例】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积. 【思维·引】三棱锥A1-D1EF的高不易求出,可以转换为求三棱锥F-A1D1E的体积.【解析】由=,因为EA1·A1D1=a2,又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,所以=×a×a2=a3.=a3. 【素养·探】在与柱体、锥体、台体的体积有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过分析空间几何体的形状选择恰当的公式,求出几何体的体积.将本例的条件改为点F为CC1的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A1-EBFD1的体积. 【解析】因为EB=BF=FD1=D1E==a,D1F∥EB,所以四边形EBFD1是菱形,连接EF,则△EFB≌△FED1.因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等,所以=,又因为EA1·AB=a2,所以=a3,所以==a3. 角度2公式法和割补法求体积【典例】1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是() A.28+6B.40C.D.30+6 2.如图所示,三棱锥P-ABC的所有棱长都为1,求此三棱锥的体积. 【思维·引】1.由三视图判断此几何体的形状,求出有关几何量,用相应体积公式计算. 2.将此三棱锥放在正方体中,将此三棱锥看作正方体切去四个三棱锥得到,据此设计算法求解.【解析】1.选C.由三视图知,直观图如图所示:底面是直角三角形,直角边长为4,5,三棱锥的一个后侧面垂直于底面,并且高为4,所以棱锥的体积为××5×4×4=. 2.如图所示,把三棱锥放在正方体中. 三棱锥P-ABC可看作正方体切去四个三棱锥得到,因为正四面体的棱长为1,所有正方体的棱长为,所以三棱锥P-ABC的体积为. 【类题·通】求几何体体积的常用方法 【习练·破】1.如图,一圆柱被一平面所截,已知被截后的几何体的最长侧面母线长为4,最短侧面母线长为1,且圆柱底面半径长为2,则该几何体的体积等于______. 【解析】方法一:如图,该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和,下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1,而上面的圆柱的高为3.于是所求几何体的体积为V=π×22×1+×π×22×3=10π.答案:10π 方法二:如图,将一个与已知的几何体完全相同的几何体,与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱,那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半.于是V=×π×22×5=10π.答案:10π 2.如图,三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比. 【解析】设棱台的高为h,=S,则=4S.所以=S△ABC·h=Sh,=·h=Sh.又V台=h(S+4S+2S)=Sh,所以=,所以体积比为1∶2∶4. 【加练·固】1.圆锥母线长为1,侧面展开图的圆心角为240°,则该圆锥的体积为()A.B.C.D. 【解析】选C.设圆锥底面半径为R,高为h,则2πR=,所以R=,h=,所以V=πR2h=. 2.如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 【解析】方法一:设AB=a,AD=b,DD′=c,长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc,又bc,且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.所以V三棱锥C-A′DD′=S△A′DD′·CD=abc.则剩余部分的几何体体积V剩=abc-abc=abc.故∶V剩=abc∶abc=1∶5. 方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C-A′DD′的底面面积为S,高为h,因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh. 剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5. 类型三 求组合体的表面积与体积【典例】1.(2019·嘉兴高一检测)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是________,表面积是________. 2.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为216°的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.(1)求圆锥的体积.(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大? 【思维·引】1.先由三视图还原该几何体的直观图,观察其有几部分组成,求几何体的体积时,依据需要先将几何体分割分别求解,再求和.求表面积时,应注意重合部分的处理.2.(1)先根据题目条件,找出关于圆锥的底面半径r的方程,然后求圆锥的底面半径和高,最后求圆锥的体积; (2)在圆锥的轴截面中,利用三角形相似推出圆柱的底面半径y与圆锥的高x的关系,进而建立圆柱的侧面积S关于圆锥的高x的函数,求最大值. 【解析】1.由三视图可得该几何体的直观图如图所示: 所以该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.答案:90138 2.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r,则2πr=×2π×5,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积V=πr2×4=12π. (2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为y,则,得y=3-x. 圆柱的侧面积S(x)=2π(3-x)x=π(4x-x2)=π[4-(x-2)2](0