2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（五）柱体、锥体、台体的表面积与体积新人教A版

课时跟踪检测（五）柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积1．棱长为3的正方体的表面积为(  )A．27B．64C．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(  )A．1∶2B．1∶C．1∶D.∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(  )A.B．16πC．9πD.解析：选A 如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以该球的表面积为4πr2＝4π×2＝.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(  )A．7B．6C．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.答案：6π 对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(  )A．2B．4C．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，则高h＝＝.∴V圆锥＝πr2·h＝π×＝.答案：8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－×1×22＝.答案： 对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EF＝VEA1AF＝S△A1AF·BH＝××6×4×2＝8.答案：8二、综合过关训练1．如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是(  )A.B.C.D.解析：选C ∵VCA′B′C′＝V棱柱＝，∴VCAA′B′B＝1－＝.2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(  )A.B.C.D.解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(  ) A．88＋(2－2)πB．96＋(2－4)πC．88＋(4－4)πD.88＋(2－4)π解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求几何体的表面积S＝4×4×6－×4×4－＋×π×2×2＝88＋(2－2)π.故选A.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(  )A．1∶1         B．1∶C．1∶D.1∶2解析：选C 如图，三棱锥D1AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥＝4×(a)2×＝2a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶.5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.答案：26．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．解析：由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π×22×2＝，∴所求几何体的体积为16π－＝.答案：π7．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r. 又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，圆锥的高h＝＝·，V＝πr2h＝π×××＝π.8．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解：(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4π(cm2)．(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为rcm，由题意，知＝，∴r＝，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2.