2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积练习新人教A版

第6课时 柱体、锥体、台体的表面积对应学生用书P13                 知识点一柱体的表面积1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(  )A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4答案 D解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．则该几何体的表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π．2．正六棱柱的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的侧面积为________．答案 180cm2解析 设正六棱柱的底面边长为acm，则底面上最长的对角线长为2acm，由＝13，解得a＝6，所以其侧面积为5×6a＝5×6×6＝180(cm2)．知识点二锥体的表面积 3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(  )A．20πB．24πC．28πD．32π答案 C解析 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成，其中，圆锥的底面半径为2，母线长为＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，∴S表＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π．4．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示(单位：cm，图中水平线与竖线垂直)，则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计)(  )A．100(3＋)cm2B．200(3＋)cm2C．300(3＋)cm2D．300cm2答案 A解析 由三视图可知，该几何体是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10cm，故底面面积为10×10＝100(cm2)，与底面垂直的两个侧面是全等的直角三角形，两直角边的长度分别为10cm，20cm，故它们的面积均为100cm2，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的一边，长10cm，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为＝10(cm)，故此两侧面的面积均为50cm2，所以此四棱锥的表面积为S＝100(3＋)cm2．5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是________． 答案 3π解析 设圆锥的底面半径为r，由于轴截面面积为，则r＝1，母线长为2．∴S侧＝×2×2π＝2π，S底＝π×12＝π，∴S表＝2π＋π＝3π．知识点三台体的表面积6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(  )A．7B．6C．5D．3答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r．由S侧＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．7．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是(  )A．6πB．12πC．18πD．24π答案 B解析 结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π．对应学生用书P14                 一、选择题 1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(  )A．1∶2B．1∶C．1∶D．∶2答案 C解析 设圆锥的底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶．2．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(  )A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2答案 B解析 棱长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×＝18a2，因此表面积增加了12a2，故选B．3．已知圆锥的表面积为9πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为(  )A．cmB．3cmC．cmD．2cm答案 C解析 设圆锥的底面半径长为r，圆锥的母线长为l，则由πl＝2πr，得l＝2r，而S表＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝9π，故r2＝3，解得r＝cm．4．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(  )A．180B．200C．220D．240答案 D解析 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为×(2＋8)×4×2＝40．四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200．所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240．5．某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示，则该几何体的表面积为(  ) A．92＋24πB．82＋14πC．92＋14πD．82＋24π答案 C解析 由三视图知几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4；上面半圆柱的半径为2，高为5；所以该几何体的表面积S＝S半圆柱侧＋S长方体侧＋S长方体底＋2S半圆柱底＝π×2×5＋2×(4＋5)×4＋4×5＋π×22＝92＋14π，故选C．二、填空题6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 38解析 由三视图可知，该几何体是从一个长方体中挖去一个圆柱得到的．其中长方体的长、宽、高分别为4，3，1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1．长方体的表面积S1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38，圆柱的侧面积S2＝2π×1×1＝2π，该圆柱的上、下底面面积和S3＝2×π×12＝2π．故该几何体的表面积S＝S1＋S2－S3＝38．7．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________． 答案 (2＋)a2解析 正方体的棱长为a，新几何体的上、下两个面的面积都是a2，左、右两个面是正方形，面积均为2，前、后两个面为平行四边形，面积分别等于原几何体中前、后两个面的面积，都为2，所以此几何体的全面积为S全＝2×a2＋4×2＝(2＋)a2．8．已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________．答案 4cm 32cm2 48cm2解析 如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴斜高PE＝＝＝4(cm)，∴S正棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，S正棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．三、解答题9．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．解 该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝．所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圆柱的侧面积S2 ＝2πrh＝2π×1×＝2π．所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π．10．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面如图，则圆锥的母线长为＝2，∴圆锥的侧面积为S＝πrl＝4πcm2．(2)设圆柱的底面半径为r′，则＝，∴r′＝2－，∴S圆柱侧＝4πx－πx2＝－π(x－3)2＋6π，∴当x＝3时，圆柱的侧面积最大，最大值为6π．