1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积Uj层析教材，新知无师自通知识点柱体、锥体、台体的表面积与体积［提出问题］南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲卩q海，弘扬奥林匹克精神.“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷.问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？提示：可以，即计算圆台的表面积.问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷?提示：可以，即计算其容积.［导入新知］i.几种几何体的表面积公式图形表面积公式多面体Bxo多血体的表血积就是各个血的血积之和，也就是展开图的而积旋转体圆柱底面积：S^=nr侧面积：S»=2nrl表面积：S=2jtr7+2n?
圆锥底面积：S底侧面积:s^\=nrl表面积：5=Jirl+n?圆上底面面积：S上底=兀厂'2下底面面积：STfe=Jir台侧面积：5«j=nl{r+r'）表面积：S=只(厂'2+r+rf/+r/)2.柱体的体积公式V=ShlS为底面面积，h为高);锥体的体积公式匸細⑴为底面面积，力为高);台体的体积公式卩=#(S'+yjs'S+5)/］.［化解疑难］对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.V=ShVv=y（S，++S）hTV=ySh.柱体、锥体、台体的表面积V"-锁定考向.考题千变不离其宗［例1］某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A.180C.220［答案］D［类题通法］D.2401.求儿何体的表面积问题，通常将所给儿何体分成基本儿何体，再通过这些基本儿何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.2.结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图小得到儿何体的相关量，再结合表而积公式求解.［活学活用］圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇坏的圆心角是180°,求圆台的表血积.解：如图所示，设圆台的上底面周长为ccm,由于扇环的圆心角是180°,则c=n•SA=2JiX10,解得S4=20(cm)・同理可得弘=40(cm),所以AB=SB~SA=2^^.所以S茨=S?g+S上+S下=JIX(10+20)X20+JiX102+JIX202=1100n(cm2).柱体、锥体、台体的体积［例2］（天津高考）已知一个四棱锥的底而是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示
（单位:m）,则该四棱锥的体积为［答案］2［类题通法］求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥吋），准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的儿何体可利用分割儿何体或补全儿何体的方法转化为柱体、锥体、台体的体积计算问题.［活学活用］已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积.解：如图所示，在三棱台ABC-A1BfC中，Of,。分别为上、下底面的中心，D,Df分别是应；BfC的中心，则勿'是等腰梯形尿了Bf的高,所以S测=3X*X(20+30)XW=75%'.又川=20cm,/矽=30cm,则上、下底面面积之和为（202+302）=325^3(cm2).由弘=S上+S下，得15DD=325^/3,10所以DD'=环為(cm).又TO'D'=¥乂20=捋总(cm),63^9=^X30=573(cm),・••棱台的高h=0‘O=W〃一OD—O'〃‘
13a3-r=4-\/3(cni)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为_4^3_3X20X30)=1900(cm3).111"简单组合体的表面积和体积*■lilBV1［例3］己知的三边长分别是AC=Z,BC=A,/1B=5,以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.［解］如图，在中，过C作CD1AB,垂足为ZZ由^6=3,BC=4,AB=5,知AC+BC=A1L贝ijACA.BC,•.*BC•AC=AB^CDACD=—,记为厂=百，那么△加疋以/〃所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆12锥，且底半径r=—,母线长分别是M=3,BC=g1284所以$应=兀八｛AC+BO="X-X(3+4)=丁，y=gnr{AD+BD)r・AB1488448所以，所求旋转体的表面积是丁兀，体积是丁兀.［类题通法］求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再
分别代入公式求解.［活学活用］一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为m3.俯视图侧视图答案:修补短板.拉分题20Ji分不丢34.求几何体表面积、体积考虑不全面［典例］把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.［解］设圆柱的底面半径为厂，母线长为/,高为/?.2当2Ji7—4,1=2时，厂=一,/?=7=2,jiO所以卩圆拄=兀/A=—当2nr=2,/=4时，z=+，h=］=A,所以Vm=兀#h=84综上所述，这个圆柱的体积为丁或［易错防范］把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高.容易漏掉一种情
况，解决此类问题一定要考虑全面.底体［成功破障］如图，从底面半径为2臼，高为晶的圆柱中，挖去一个而半径为自且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积$与挖去圆锥后的儿何
的表而积$之比.解：由题意知，$=2兀・2臼・屆+2n・（2臼）2=（4、信+8）兀/$=$+”日・（2z?）-a=（4萌+9）Jia.:.5:$=（4羽+8）:（4*\/3+9）・自主演练，百炼方成钢［随堂即时演练］1.（全国甲卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的儿何体的三视图，则该儿何体的表而积为（）A.20nB.24JiC.28n答案：c2.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A.1：2B・1：羽C.1：&Dp：2答案：C3.（天津高考）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为m3.侧视图I丁I—2—正视图O答案：討4.圆台的上、下底而半径和高的比为1：4：4,母线长为10,则圆台的侧面积为答案：100n5.一个正三棱柱的三视图如图所示（单位：cm）,求这个正三棱柱的表血积与体积.俯视图解：表面积:（24+趴币）cm2,体积：8寸5cm3.
［课时达标检测］一、选择题1•如图，AB&A9BrC是体积为1的棱柱，则四棱锥&AArB1〃的体积是（）1A*3答案:02.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4兀，那么圆柱的体积等于（）A.nA.2JiD.8兀C・4兀答案：B1.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）B.12D.18答案：B2.（全国卷II）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A*8
1C-6答案：D1.—个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其止视图如图所示，则该四棱锥的侧而积和体积分别是（）C.+4B.D.答案：B二、填空题2.一个六棱锥的体积为2萌，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.答案：123.（浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.正视图侧视图俯视图答案：72324.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm,侧棱长为13cm,则其表面积为cm2.答案：1012三、解答题9.如图是某几何体的三视图,请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积.（单位：cm）侧视图俯视图
解：由三视图知该儿何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截而的大小与长方体的上底面大小一致.长方体的长、宽、高分别是&4,6,圆柱的高是8,底面半径是2,・••表面积为5=8X4+2X8X6+2X4X6+2x|xjiX22+|x2jiX2X8=1764-20兀(cm2),体积为卩=8X4X6+*XnX22X8=192+16h(cm3),故该几何体的表面积为(176+20n)cm2,体积为(192+16n)cm3.10.已知正三棱锥匕・〃尿7的正视图、俯视图如图所示，其中旳=4,心2书,求该三棱锥的表面积.解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且两=w=yc=4,AB=BC=AC=2©取臆的屮点〃，连接VD.则VDLBC有VD=弋帼一肪=卫一羽J丽,则亦BC=»丽X2书=畅,D所以，三棱锥V-ABC的表面积为3皿+5\椒=3换+3羽=3（佰+书）.
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