2018版高中数学（人教a版）必修2同步教师用书：第1章131柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3空间几何体的表面积与体积1・3・1柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标导航1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法.（重点）2.会求组合体的表面积与体积.（难点、易错点）阶段1认知预习质碇（知识梳理要点初探］［基础•初探］教材整理1柱体、锥体、台体的表面积阅读教材P23〜卩25“例2”以上内容，完成下列问题.1.多面体的表面积多面体的表面积就是备仝直的面积的和，也就是展开图的面积.2.旋转体的表面积名称图形公式圆柱CS111:/底面积：S底=2兀/侧面积：S^lTtrl表面积：S=27irl+2nr32寸 圆锥£2底面积：冷底=疋侧面积：Sw=nrl表面积：S=7T刃+兀/圆台上底面面积：S上底=兀厂’2下底面面积：S下底=疋侧面积:S^=nl(r+r,)表面积：S=Ti(rf2+r2+r'l+rl)°微体验°判断(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积Z和.()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()(3)圆台的高就是相应母线的长.()(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积和等.()【解析】(1)止确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.(2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形.(3)错课.圆台的高是指两个底面之间的距离.(4)错误.由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.【答案】⑴丁⑵X(3)X⑷X教材整理2柱体、锥体与台体的体积公式阅读教材P25“例2”以下〜P26“思考”以上内容，完成下列问题.(1)柱体：柱体的底面面积为S,高为/?,则V=Sh.(2)锥体：锥体的底面面积为S,高为/?,则V^Sh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S'、S,高为h,则V=|(S,+o微体验o 圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为（）A.15兀B.30C.12kD・36k【解析】圆锥的高/1=^52-32=4,故V=|7uX32X4=127r.【答案】C阶段2介作探究通关［分组讨论疑难细究〕［小组合作型］«S1空间几何体的表面积和侧面积»例-个直角梯形的两底边长分别为2和5,高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积.【精彩点拨】旋转所得到的儿何体为圆柱与圆锥的组合体.【自主解答】旋转所得几何体如图.由图可知，儿何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和,・・・S=S関柱底+s阴柱侧+S関惟侧=7rX42+27iX4X2+nX4X5=16兀+16兀+20兀=52兀名师眉蓟1.求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积. 2.组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积.［再练一题］1-圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4,若母线长为10,则圆台的表面积为（A.8171B.1007TC.168兀D.169兀［圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为"下底面半径为乩则它的母线长为/=#/,+（/?—厂）2=乜（4厂尸+（3厂）2=5厂=10,所以厂=2,R=8.B故S侧=兀（/?+厂”=7i（8+2）X10=10071,S^=S侧+兀广+兀疋=100兀+4兀+64兀=16871.]««2空间几何体的体积如图1・3・1所示，在长方体ABCD-ArB1CD中，用截面截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DDf的体积与剩余部分的体积之比.D'图1-3-1【精彩点拨】先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比.【自主解答】法一：设AB=afAD=b,DD'=c,则长方体ABCD-A1B‘CD'的体积V=abc,吐三棱锥C-A'DD'的高为CD=a. ••V三校维c-小dddD'CD=^ahc.则剩余部分的几何体体积V^=abc—^abc=^cibc.故Vwc-A-DD:v=abc:^abc=1:5.法二：己知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱AD"Af-BCCfB1,设它的底面ADDrAf面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C-AfDD'的底面面积为*S,高为h,因此棱锥C-A'DD'的体积Vc-aDDr=§X㊁S/2=gS/?.剩余部分的体积是Sh—~^Sh=~^Sh.所以棱锥C・A'DD的体积与剩余部分的体积之比为書S/2：舟S/?=1:5.1•常见的求几何体体积的方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求儿何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.［再练一题］2・如图1・3・2所示，正方体ABCD-A］B］CiD［的棱长为a,过顶点B,D,人截下一个三棱锥. 图1-3-2d)V三棱锥ArABD=(1)求剩余部分的体积；⑵求三棱锥A-A.BD的高.【解】故剩余部分的体积V—V正方体—VE.WA^-ABD⑵由⑴知V三棱傩y三梭HMi-ABD=gQ‘，设三棱锥A-A.BD的高为/?,则V三mA-A^BD—^'S^A^D'h=+X2X¥(迈0)2/2=¥刊，故平/力二*/,解得h=¥a.［探究共研型］与三视图有关的表面积和体积探究1一个儿何体的三视图如图1・3・3所示，请说出该儿何体的结构特征. 55L—3—J•4-=4正视图侧视图图1-3-3【提示】由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形.探究2试根据图1-3-3屮数据求该几何体的表面积.【提示】三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所不，所以表面积为2(空>