高中数学 1-3-1柱体锥体台体的表面积学案 新人教版必修2 学案

山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高中数学必修二学案：1-3-1柱体锥体台体的表面积[学习要求]1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法；2．了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；3．培养空间想象能力和思维能力．[学法指导]通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心．1．棱柱、棱锥、棱台是由多个围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、．3．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝ 圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝一、棱柱、棱锥、棱台的表面积问题1 在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？答 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面积．如下图所示．问题2 几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面展开图是怎样的？如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？答 如下图所示，只需求出各个展开图中的各部分平面图形的面积，然后求和即可．例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积．分析 由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．解 先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.因为BC＝a，SD＝＝＝a.所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.因此，四面体S—ABC的表面积S＝4×a2＝a2.小结 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用． 例 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD，求它的表面积．解 ∵四棱锥S—ABCD的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形．设E为AB的中点，则SE⊥AB.∴S侧＝4S△SAB＝4××AB×SE＝2×5×＝25.S表面积＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)．例 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3.所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×3＝108.小结 解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．跟踪训练 在上例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？解 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，则有＝＝，即＝.所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝32×17，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17， 所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.S侧==所以E1E＝PE－PE1＝2×(12+6)×3＝108.例将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为（），表面积增加了(  )A．6a2        B．12a2C．18a2D．24a2[答案] C，B[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.例(2010·福建文，3)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于(  )A.B．2C．2D．6[答案] D[解析] 原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，则S侧＝3×2×1＝6.例棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(  )A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3[答案] B[解析] 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.例四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是(  )A.＝＋B.＝＋C.＝＋D.＝[答案] C[解析] 由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，，消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2， ∴z(x＋y)＝xy，∴＝＋.例已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，O为上底面A1B1C1D1的中心，E为棱A1B1上一点，则AE＋EO的长度的最小值是________．[答案] a[解析] 将正方体一部分展开如图，AE＋EO在A、O、E三点共线时取最小值．AO＝＝＝a.例长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，CC1＝1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，求绳子的最短长度．[解析] 绳子的最短长度有三种情况，如下图：图(1)是将面ABB1A1与A1B1C1D1展开，AC′1＝3；图(2)是由A经过面ABB1A1和BCC1B1到C1，AC′1＝；图(3)是由A经过面ABCD和BCC1B1到C1，AC′1＝2.比较上述三种情况知，AC′1最小为3.[点评] (1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC1＝是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．例底面为正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥称作正棱锥，其侧面等腰三角形的高称作棱锥的斜高，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积．[解析] 正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴h′＝PE＝＝4cm，因此S侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32(cm2)，S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．例已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm) [解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h′＝2，其表面积S＝42＋4×4×2＋×4＝48＋16cm2.例一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A．2B．3C．6D．解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。例所有棱长为1的三棱锥的全面积为________．解析 S＝4××1×＝.例如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，求以A、(B)、C、D、O 为顶点的四面体的全面积和体积．【解析】 翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，斜高为2，高为，所以该四面体的全面积为3×(×4×2)＋×42＝12＋4，体积为××16××＝.【答案】 12＋4，例（2012安徽文数）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372（B）360（C）292（D）280答案：B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。二、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法问题1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？答 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有：S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长．问题2 如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？答 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形面积为×2πrl＝πrl，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长．问题3 如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？答 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如右图， ＝，解得：x＝l.S扇环＝S大扇形－S小扇形＝(x＋l)×2πR－x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．问题4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？答 如下图所示：S柱＝2πr(r＋l) S台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) S锥＝πr(r＋l)例3 一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长15cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？(π取3.14，结果精确到1mL)解 如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S＝π×[()2＋×15＋×15]－π×()2≈1000(cm2)＝0.1(m2)．答：涂100个花盆需油漆0.1×100×100＝1000(毫升)．小结 解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．跟踪训练3 圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)解 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.例已知圆柱轴截面的周长l为定值，则圆柱侧面积的最大值为(  )A.πl2B.πl2C.πl2D．πl2 [答案] C[解析] 设圆柱的底面半径为r，高是h，由其轴截面周长为l，可得4r＋2h＝l，∴h＝，S＝2πrh＝πr(l－4r)．易得当r＝时，S最大值为πl2.例如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为(  )A．81πB．100πC．14πD．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.例一个长方体的长、宽、高分别为3,8,9，若沿其一对面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为(  )A．3B．8C．9D．3或8或9[答案] A[解析] 要使几何体的表面积不发生变化，则圆柱的两底面面积之和等于圆柱的侧面积．设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πrh，即r＝h.还需检验：当h＝9时，在长为8，宽为3的面上不可能截得半径为9的孔；当h＝8时，在长为9，宽为3的面上也不可能截得半径为8的孔；当h＝3时，在长为9，宽为8的面上可以截得半径为3的孔．故正确答案为A.例一个圆台的上、下底面面积分别是πcm2和49πcm2，一个平行于底面的截面面积为25πcm2，则这个截面与上、下底面的距离之比是(  )A．2∶1B．3∶1C.∶1D.∶1[答案] A[解析] 将圆台补成圆锥形成三个小锥体，它们的底面积之比为1∶25∶49，因此高之比为1∶5∶7，所以截面与上、下底面的距离之比为4∶2即2∶1，故选A.例用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则轴截面面积是________． [答案] cm2[解析] 设卷成圆柱的底面半径r，母线长为l，则S侧＝2πrl＝32，S轴＝2rl＝(cm2)．例已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________．[答案] 180°[解析] 由题意知，πrl＝2πr2 ∴l＝2r，∴θ＝×360°＝180°.例面积为2的菱形，绕其一边旋转一周，所得几何体的表面积是________．[答案] 8π[解析] 如图，设菱形ABCD边长为m，AD边上高BE＝h，则mh＝2，其表面积S＝2πh·m＋2(πh·m)＝8π.例如图，一直角梯形ABCD的上、下底分别为CD＝，AB＝3，高AD＝2，求以腰BC所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．[解析] 由题设∠ABC＝30°，BC＝4，分别过A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为M、N，则AM＝，DN＝，所求旋转体的表面积由三部分构成①圆锥B－AM的侧面积S1＝π·AM·AB＝.②圆台MN的侧面积S2＝π(AM＋DN)·AD＝4π.③圆锥C－DN的侧面积S3＝π·DN·CD＝π∴S表＝S1＋S2＋S3＝(15＋4)π.例①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积；②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积．①解： ②解：例一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．解析 先求出圆柱的底面半径，再应用圆柱的表面积计算公式求解．设圆柱的底面半径为r，高为h.由2πr＝2π得r＝1，∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π.例若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为________．答案 3π解析 已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求．如图，设圆锥轴截面三角形的边长为a，则a2＝，∴a2＝4，∴a＝2.∴圆锥的全面积为S＝π()2＋π··a＝3π.三、由三视图还原几何体再求相关问题例1(2012·广州高一检测)一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(  )．A．12πB．18πC．24πD．36π解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.答案 C例2(2012·温州检测(二))如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为(  )．A．2πB．4πC．6πD．8π解析 由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.答案 C例3一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是(  )A．(80＋16)cm2B．84cm2C．(96＋16)cm2D．96cm2解析 该几何体是四棱锥与正方体的组合，S表面积＝42×5＋4＝80＋16. 答案：A例4(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析 由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.答案 38例5(2012·安徽)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．答案 92解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，该几何体的表面积为S＝2××(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋]×4＝92.例6一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(  )A．48       B．32＋8C．48＋8D．80【解析】 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为S＝2××(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2××4＝48＋8.【答案】 C例7(2012·安徽)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．答案 92解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，该几何体的表面积为S＝2××(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋]×4＝92.例（2012福建文数）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于()A．B．2C．D．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D．【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。 例（2012福建理数）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于．【答案】【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。例如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为(  )A.B．2πC．πD．4π[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为，高为1的圆柱，故其全面积S＝2π×2＋2π××1＝.[答案] A例已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(  )A.B.C.D.[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解． 注：1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．4.求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．