2014高中数学 1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习 新人教A版必修2

2014高中数学1-3-1-1柱体、锥体、台体的表面积与体积同步练习新人教A版必修2一、选择题1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(  )A．6a2        B．12a2C．18a2D．24a2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.2．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为(  )A.B．2πC．πD．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为，高为1的圆柱，故其全面积S＝2π×2＋2π××1＝.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(  )A.B.C.D.7 [答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．已知圆柱轴截面的周长l为定值，则圆柱侧面积的最大值为(  )A.πl2B.πl2C.πl2D．πl2[答案] C[解析] 设圆柱的底面半径为r，高是h，由其轴截面周长为l，可得4r＋2h＝l，∴h＝，S＝2πrh＝πr(l－4r)．易得当r＝时，S最大值为πl2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为(  )A．81πB．100πC．14πD．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.7 6．一个长方体的长、宽、高分别为3,8,9，若沿其一对面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为(  )A．3B．8C．9D．3或8或9[答案] A[解析] 要使几何体的表面积不发生变化，则圆柱的两底面面积之和等于圆柱的侧面积．设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πrh，即r＝h.还需检验：当h＝9时，在长为8，宽为3的面上不可能截得半径为9的孔；当h＝8时，在长为9，宽为3的面上也不可能截得半径为8的孔；当h＝3时，在长为9，宽为8的面上可以截得半径为3的孔．故正确答案为A.7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于(  )A.B．2C．2D．6[答案] D[解析] 原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，则S侧＝3×2×1＝6.8．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(  )A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3[答案] B[解析] 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.9．一个圆台的上、下底面面积分别是πcm2和49πcm2，一个平行于底面的截面面积为25πcm2，则这个截面与上、下底面的距离之比是(  )A．2∶1B．3∶1C.∶1D.∶17 [答案] A[解析] 将圆台补成圆锥形成三个小锥体，它们的底面积之比为1∶25∶49，因此高之比为1∶5∶7，所以截面与上、下底面的距离之比为4∶2即2∶1，故选A.10．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是(  )A.＝＋B.＝＋C.＝＋D.＝[答案] C[解析] 由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，，消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴＝＋.二、填空题11．用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则轴截面面积是________．[答案] cm2[解析] 设卷成圆柱的底面半径r，母线长为l，则S侧＝2πrl＝32，S轴＝2rl＝(cm2)．12．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，O为上底面A1B1C1D1的中心，E为棱A1B1上一点，则AE＋EO的长度的最小值是________．[答案] a[解析] 将正方体一部分展开如图，AE＋EO在A、O、E三点共线时取最小值．7 AO＝＝＝a.13．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________．[答案] 180°[解析] 由题意知，πrl＝2πr2 ∴l＝2r，∴θ＝×360°＝180°.14．面积为2的菱形，绕其一边旋转一周，所得几何体的表面积是________．[答案] 8π[解析] 如图，设菱形ABCD边长为m，AD边上高BE＝h，则mh＝2，其表面积S＝2πh·m＋2(πh·m)＝8π.三、解答题15．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，CC1＝1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，求绳子的最短长度．[解析] 绳子的最短长度有三种情况，如下图：图(1)是将面ABB1A1与A1B1C1D1展开，AC′1＝3；图(2)是由A经过面ABB1A1和BCC1B1到C1，AC′1＝；图(3)是由A经过面ABCD和BCC1B1到C1，AC′1＝2.比较上述三种情况知，AC′1最小为3.[点评] (1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC1＝7 是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．16．底面为正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥称作正棱锥，其侧面等腰三角形的高称作棱锥的斜高，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积．[解析] 正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴h′＝PE＝＝4cm，因此S侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32(cm2)，S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．17．如图，一直角梯形ABCD的上、下底分别为CD＝，AB＝3，高AD＝2，求以腰BC所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．[解析] 由题设∠ABC＝30°，BC＝4，分别过A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为M、N，则AM＝，DN＝，所求旋转体的表面积由三部分构成①圆锥B－AM的侧面积S1＝π·AM·AB＝.②圆台MN的侧面积S2＝π(AM＋DN)·AD＝4π.③圆锥C－DN的侧面积S3＝π·DN·CD＝π∴S表＝S1＋S2＋S3＝(15＋4)π.18．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)7 [解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h′＝2，其表面积S＝42＋4×4×2＋×4＝48＋16cm2.7