2019-2020年高中数学必修二教案：1-3-1《柱体、椎体台体的表面积与体积》

2019-2020年高中数学必修二教案：1-3-1《柱体、椎体台体的表面积与体积》学习目标1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.培养学生空间想象能力和思维能力.2、让学生经历几何全的侧面展开过程，感知几何体的形状.让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系.3、通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性.教学重难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导教学过程一、情境导入（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类.（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容.二、探究新知1、阅读教材23—25页内容，回答问题(柱、锥、台表面积)（1）在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？（2）棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？（3）如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？（4）联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′，r，母线长为，你计算出它的表面积吗？结论：（1）正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.（2）棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.（3 ）它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2，侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).（4）圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是.2、阅读教材第25—27页内容，回答问题(柱、锥、台体积)（5）回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？（6）比较柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；V台体=h(S′，S分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？结论：（5）棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a，b，c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积V=(S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V=(S′++S)h，其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.（6）柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图：练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4 ，则三棱锥体积的最大值是_______；④已知正三棱台(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_______.(根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.结果：1/6)三、小结（1）柱体、锥体、台体的体积公式：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2，侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l);圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l);圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即..（2）柱体、锥体、台体的体积公式:V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；V台体=h(S′，S分别为上、下底面积，h为台体的高).四、布置作业教材第28页习题1.3A组第1、2、3题；