1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积知识一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是rti多个平面图形I詞成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积Z_,因此，我们对以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.2.棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个、、所组成的.侧面展开图的面积称为儿何体的侧面面积（即侧面积）•由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积Z和.（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有和展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平血的面积之和，也可表示为：'附披='梭柱侧+2S底，S棱锥农=S棱锥侧+S底»S棱台表=S棱台侧4-S上底+S下底•3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积（1）直棱柱的侧血积：把直棱柱（侧棱与底血垂直的棱柱）沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图（1）所示，则直棱柱的侧面面积为冷=（c为底面周长，力为侧棱长）.（2）正棱锥的侧面积：正棱锥（底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心）的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图（2）所示，则正棱锥的侧而面积为S=（c为底而周长，夕为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高）.（3）正棱台的侧面积：正棱台（市正棱锥截得）的侧面展开图是儿个全等的等腰梯形.如图⑶所示，则正棱台的侧面面积（R,q分别为上、下底面周长，F
为斜高，即侧面等腰梯形的高）.
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱（底面半径为厂，母线长为/）圆锥（底面半径为八母线长为/）圆台（上、下底面半径分别为”，r,母线长为7）侧面展开图円:i、12irr&底面面积S底二S底二心s上底Ss下底二兀斥侧面面积5#1=2nrlS侧二S侧二兀/（”+厂）表面积S表=2n/(厂+■1)S表二nr(z+J)S远三、柱体、椎体、台体的体积1.柱体、椎体、台体的高（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的即圆柱的高.（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.（3）棱台（圆台）的高是指两个之间的距离.2.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体儿*（S为底面面积，力为高）,V^Ttrh^r为底面半径，力为高）锥体y锥体二丄S力（S为底面面积，力为高），V（厂为底面半径，力为高）3台体^=l（y+Vys+s）/?（y、s分别为上、下底面面积，力为高），3耳须台二丄n/心'2^r'/H-r2）（rz、厂分别为上、下底面半径，力为高）3
四、组合体的表面积与体积
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.龜。晅.•。総「唾「•龜K知识参考答案:晅“・：：織・。。色「龜“晅・。鷄.!：晅•。總晅"产総・"。色「2.平行四边形三角形梯形侧面底面3.ch\chHrl)底面三、1.母线2.Sh毎重点K—重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积.K—难点：组合体的表面积和体积.K—易错：由三视图还原几何体时出错，表面积计算不全致错，忽视题干条件致错等.1.K重点一一柱体的表面积和体积(1)圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积公式求解即可.(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面的面积之和來求，公式法即利用平行卩L|边形面积公式进行求解.例1若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积Z比是a2兀+1A.2兀4兀+1C.2兀n2兀+1B.4兀4兀+1D.4兀【答案】A
【解析】设圆柱的底面半径为厂母线长为打由题意得加T,S佥=2jl^+2^=2^2jiz+2^=（4兀》+2jl）*〉S疗珈=4计,.S全（4丘+2©,2兀+1祐吐4icr2k・e—■可~可—二•五灵%【名师点睛】解答此类题H的关键是熟悉该几何体的展开图.1.K重点锥体的表面积和体积,则该几何体的体积为正视图侧视图俯视图B.6D.2A.12B.4【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底血是一个直角梯形，直角梯形的上底是1,下底是2,垂直于底边的腰是2,—条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，•••该四棱锥的体积是-x（1+2）X2x2=2,故选D.32【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间儿何体的形状并画出其直观图，再根据体积公式得到结果.木题屮侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分.（2）求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱,并注意高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形的应用.
1.K重点一一台体的表面积和体积（1）求解正棱台的表而积和体积时，注意棱台的四个基本暈：底面边长、高、斜高、侧棱,并注意两个直角梯形的应用•①高、侧棱、上下底面外接圆半径所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形屮去解决；二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决.(2)求解圆台的表面积和体积时，注意轴截面是等腰梯形的运用，求圆台的表面积关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要途径.^J3已知正四棱台的上、下底血边长分别为3和6,其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是A.2B.—27C.3D.—2【答案】A【解析】如图.设久0分别是正四棱台上、下底面的中心，则％是正棱台ABCD~A\B\CA的高，E\、E分别是AA、AD的中点，连接0E、0占、EE、.,作E\H〃00\,贝！JE\H=GO,由题意得，(3+6)匕厶x4=9+36…•・EE,=-，在Rt△砸中，E,H2=EE^-EH2=---=4,2121144:.E\由2,：,0x0-2.【思路点拨】欲求棱台的高，根据题目中给11!的侧面积和上、下底面面积的关系，可列等式求得侧面斜高，进而求出棱台的高.2.K难点一一组合体的表面积和体积(1)求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，
然后由相应几何体的表面积或体积得出.需要注意，组合体的表面积，并不是简单几何体的表血积的和，因英接合部分并不裸露在表血.（2）组合体的表面积是组成它的简单儿何体的表面积Z和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是“挖去”，则是体积之差）.例4如图是一个儿何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该儿何体的表而积为A.2+3tc+4a/2C.84-5tu+2>/3【答案】A【解析】由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的底面是斜边为2的等月要直角三角形〉高是2，圆柱的底面半径是1〉高是2〉・••组合体的表面积是++2x^^x2+tcx2=3tc+2+4a^〉故选A.【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及圆柱和棱柱的表面积，属于中档题.求以三视图为背景的几何体的表面积吋应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.需要注意：求组合体的表面积，并不是简单儿何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面；求组合体的体积时，若所给定的儿何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用等积法、分割法、补形法等进行求解.1.K易错一一表面积计算不全致错由三视图还原几何体吋要注意两点：一是图形的转化，在转化过程中注意图中各个数据的对
应关系；二是特殊情况的处理，在求表面积时,要搞清儿何体的特征，注意分割与拼补的技巧,切不可漏掉某个面.例5—个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
俯視图A.21+73C.21A.18+V3B.18【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分，B项计算三角形面积时出错；截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了儿何体多了两个等边三角形面；D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【正解】由三视图可知原几何体如图所示，是一个正方体截収两个全等的小正三棱锥后剩余的部分.正方体的表面积为£24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边氏为1的等腰直角三角形，其侧面面积的和为3,三棱锥的底面是边长为血的正三角形，其底面而积的和为巧，故所求儿何体的表面积为24-3+73=21+73.故选A.隹好题1.将一个棱长为日的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了A.6aB.12/
2.三角形ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=1,以边AB所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的儿何体的体积是71A.—B.兀3A.2兀D.3兀1.一个儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的表面积为正视图俯视图侧视團B.4JiD.3Ji+4C.2^3A.3nC-2n+44•下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是
5.己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
正视图侧视图h*l*+*lH俯视图3C.13B.D.17T17+3廊21.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,则它的侧面积为2.已知圆柱的底面半径为1,母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_3.已知正四棱锥的侧血积是底血积的2倍，高是3,求它的全面积.4.一个儿何体的三视图如图所示，则其表面积是
正丽第观图A.20C.14+2能A.18A.14+2血1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米儿何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米有A.14斛C.36斛A.22斛D.66斛2.一个几何体的三视图如图所示，己知这个几何体的体积为10>/3,则力=
2MKB«RflHB.>/3D.5a/31.设一个圆锥与一个圆柱的底面半径和高都对应相等，它们的侧面积分别为S?,则必有A.S]S2D.以上情况均有可能2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为q,连接A'C：A'B,BD,BC‘,C'D,得到一个三棱锥Af-BCD・求：(1)三棱锥A：-BCD的表面积与正方体表面积的比值；
D(1)三棱锥A'—BC'D的体积.
1.（2017年高考新课标II卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某儿何体的三视图，该儿何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该儿何体的体积为A.90kC.42兀D.36兀2.（2017年高考浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是Q俯视图B.D.A.匹+12C.航+123.（2017年高考北京卷文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A.60A.20B.30D.101.（2016年高考新课标I【卷）下图是由圆柱与圆锥组合而成的儿何体的三视图，则该儿何体的表面积为B.24兀D.32兀A.2071A.28k2.（2016年高考四川卷）己知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体枳为
侧视图A—$~AI俯视图1.（2016年髙考浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该儿何体的表面积是cm：体积是cm\正视图阡2卄・2*|侧视图俯视图2.（2017年高考山东卷）由一个长方体和两个丄圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几4何体的体积为.
正视图（主视图）侧視图〈左视图）俯视图12345910111214151617
BBDBCABBDBADC1.【答案】B【解析】原来正方体表面积为5二6/,切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱1122长为亍自，其表面积为6x(-a)2=-a2，总表面积S2=27x-a2=\Sa2,二增加了$一5)—12.2.【答案】B【解析】由题意知该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径为BC=1,高为AB=3,所以该儿何体的体积是V=—X7CX12x3=71,故选B.33.【答案】D【解析】根据儿何体的三视图，得该儿何体是圆柱体的一半，・•・该儿何体的表面积为S表面积二兀Xl'+jiX1X2+2X2=3jt+4・故选D.4.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由三棱柱割掉一个角(三棱锥)而成的几何体，所以体积为^x22x2--x2^x22xl=^^_33435.【答案】C【解析】该几何体是如图所示的三棱台ABC-DEF,是正方体屮的一部分，其屮BC=>/2,EF=2迥,BE=CF=>5,
所以S四边形bcfe=+2a/2)xJ(V5)2-(-^-)2所以s衣面积=-xlxl+-x2x2+2x-x(l+2)x2+-=13.故选C.22226.【答案】180cm2
【解析】设正六棱柱底面边长为日，则底面上最长对角线长2日，.••正六棱柱最长对角线长为V52+4?=13,・••沪6,侧面积^6^X5=180(cm2).7.【答案】6兀【解析】因为圆柱的表面积为27rr2+27rr/,r=l,/=2,所以圆柱的表面积为6九&【答案】36.【解析】如图，高H扫3,/为是斜髙，•:S侧二2S底，・・・4X丄XBCXP圧2BC,・・・BOPE.2在Rt△磁中，PS3,O^-B(=-PE,12/.9+(―)2=PE2,:.PE=2壬.・•・S底二礎二磁二(2V3)=12,S沪2S底=2X12=24.S全二S底+S侧二12+24=36.【思路点拨】本题主要考查正四棱锥全面积的求解，求底面边长是问题的关键.解题时先利用侧面积与底面积的关系，找斜高与底面边长的关系，然后由高是3,则可求底面边长.
9・【答案】A【解析】由三视图知该几何体是一个正方体截去四个三棱锥，如图所示:所叹该几何体的表面积是S-=22+4xlx2x2+4xlx^xJ(^)2-耳+(血『=20，故选A.10.【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为厂尺，则丄x2x3r=8,解得：r=—,43所以米堆的体积是-拆X3X立方尺，因为1斛米的体积约为1.62立320方尺，所以估算出堆放的米有—-1.62-22斛，故选B.911.【答案】B【解析】由三视图知：该几何体是底面边长分别为6,5的矩形，高为力的四棱锥，所以该儿何体的体积是V=-x5x6x/?=10/?,因为该儿何体的体积为10^3,所以310/?=10^3,解得/?=V3,故选B.12.【答案】D【解析】设它们的底面半径为r、高为h、则$=时赧+r2,S2=2i^h?因为字=叫=弋:",所以当宀3/时，£=S"当r2>3卩时，S]ASq；当宀3*S22kzm2h13.【答案】(1)—；(2)3【解析】（1）IABCD-A'B'C'D'是正方体，・•・A/B=A/C=A/D=BC'=BD=C，D=yf2a,・・・三棱锥X-BCD的表面积为4xixV267X—xV26Z=2^a2.而正方体的表面积为226a2,
・・・三棱锥A：-BCD的表面积与正方体表面积的比值为迨匚=—・6a23（2）三棱锥才一ABD,C'一BCD,D一A'DC；B一A'B'C是完全一样的，故匕棱锥A'-BC'DW止方休-化棱锥从阿=R-4x；x；?.14.【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱，其体积Vx=7ix32x4=36k,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的-一半，其体10积V2=_x（7tx32x6）=27K,故该组合体的体积U=K+匕=36兀+27兀=63兀.故选2B.【名师点睛】在由三视图还原为空间儿何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图屮线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.15・【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为J7=_Lx3x（^l+丄x2xl）=Z+l,选A・1222【名师点睛】思考三视图还原空间儿何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地血的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整.16.【答案】D【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥P-ABC.
由图中数据可得该几何体的体积是叫X*5X3X4“O,故选D.【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:定底面根据俯视图确定•1•恨据匸视图.侧视图确宦儿何体的侧棱与侧而特征，调整实线、虚线对应棱的位置定棱及侧面-••■定形状确定儿何体的形状如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底血的射彫落在了底血三角形的外面，否则中问的那条线就不会是虚线.16.【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧而积为^=271.2-4=1671,圆锥的侧而积为S2=7t-2-4=87r,圆柱的底面面积为S3=7t-22=4tc,所以该几何体的表面积为S=S]+S?+S?=2871,故选C.18・【答案】E3【解析】由三视團可知该几何体的底面积为^=1x273x1=^,高为1,所以该几何体的体积为£卩=2s方丄馅灯=迺.23319.【答案】8040【解析】由三视图可知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，则S农而枳=6x22+2x42+4x2x4-2x22=80,V=23+4x4x2=40.20.【答案】2+-2【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以
7TX1_7TV=2xlxl+2xxl=2+—•22【名师点睛】(1)解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间儿何体的形状并画出其直观图.(2)三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.
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