2019届高中数学第一章柱体、锥体、台体的表面积与体积课后篇巩固探究（含解析）新人教a版

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课后篇巩固提升基础巩固1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(  )                A.72B.42πC.67πD.72π解析S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.答案C2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为(  )A.1B.12C.32D.34解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,V柱∶V锥=πR2h∶13πr2h=3∶4,故选D.答案D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )A.83B.163C.203D.8解析由图可知该几何体是底面积为8,高为2的四棱锥,如图所示:∴该几何体的体积V=13×8×2=163.答案B4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(  ) A.18+365B.54+185C.90D.81解析由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为35,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×35)×2=54+185,故选B.答案B5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(  )A.1+4π2πB.1+2π4πC.1+2ππD.1+2π2π解析设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=a2π,所以圆柱的底面积为a24π,侧面积为a2,表面积与侧面积的比是2×a24π+a2a2=1+2π2π.答案D6.若半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为    . 解析由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,则2πr=2π,h2+r2=4.解得r=1,h=3.故它的体积为13×π×12×3=3π3.答案3π37.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为     .  解析由三视图可得该几何体是三棱柱,底面是侧视图的三角形,底边为6、腰为5,一个底面的面积是12,三棱柱高是4,则侧面积为(5+5+6)×4=64,所以表面积为24+64=88.答案888.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩下部分的体积是     . 解析两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+b的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=πr2(a+b),所以所求几何体的体积为πr2(a+b)2.答案πr2(a+b)29.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P,Q在正视图中所示位置,P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P到Q点的最短路径的长. 解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=12×2πa×2a=2πa2,S圆柱侧=2πa×2a=4πa2,S圆柱底=πa2,所以S表=2πa2+4πa2+πa2=(2+5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ=AP2+AQ2=a2+(πa)2=a1+π2,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a1+π2.10.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.解如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE=2,∠OPE=30°,∴PE=2OE=4.因此S侧=4×12PE×BC=4×12×4×4=32,S表面=S侧+S底=32+16=48.能力提升1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )A.1B.2C.3D.6解析依题意,题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对),其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形,侧棱长为3,因此其体积为12×1×2×3=3.答案C 2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(  )A.8cm3B.12cm3C.323cm3D.403cm3解析由已知得,该几何体是由一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成,故其体积为V=23+13×22×2=8+83=323(cm3),故选C.答案C3.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(  )A.(60+42)πB.(60+82)πC.(56+82)πD.(56+42)π解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故选A.答案A4.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为(  ) A.4-π2B.8-4π3C.8-πD.8-2π解析由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去半个圆柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为12×(π×12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π.答案C5.如图,圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为     . 解析设圆台的上底面半径为r,则下底面半径为4r,高为4r.由母线长为10可知10=(3r)2+(4r)2=5r,解得r=2.则圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.故圆台的侧面积为π×(2+8)×10=100π.答案100π6.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为     . 解析因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=SEFCB×3=34S△ABC×3=94S△ABC,设图甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=94S△ABC,所以h=94,故答案为94. 答案947.如图,一圆锥形封闭容器高为h,圆锥内水面高为h1,且h1=13h,若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为h2,求h2.解因为V圆锥SOV圆锥SO'=23hh3=827,所以V水V圆锥SO'=1927.倒置后的体积关系为V水V圆锥S'O1=h23h3=1927,所以h2=319h327=3193h.8.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=23,求该三棱锥的表面积.解由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=23.取BC的中点D,连接VD,则VD⊥BC,有VD=VB2-BD2=42-(3)2=13,则S△VBC=12×VD×BC=12×13×23=39,S△ABC=12×(23)2×32=33, 故三棱锥V-ABC的表面积为3S△VBC+S△ABC=339+33=3(39+3).9.(选做题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的高;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?解(1)设所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图,BO=1,PO=3,圆柱的高为h,由图得x1=3-h3,即h=3-3x(0