高一数学课堂J教学教师宝典(人教版)：1-3-1-2柱体、锥体、台体的体积50张

一、阅读教材P25～26，回答下列问题1．棱长为a的正方体的体积为，长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体积为.2．底面积为S，高为h的柱体体积V＝，底面半径为r，高为h的圆柱的体积V＝.a3abcShπr2h 二、解答下列各题1．正方体的全面积为a2，则它的体积为.2．长方体的长、宽分别为4、3，体积为24，则它的最小的一个面的面积为.6 本节学习重点：多面体与旋转体的体积．本节学习难点：①台体的体积；②等积变换；③组合体体积计算． 1．(1)棱柱(圆柱)的高、棱台(圆台)的高是指两底面之间的距离，即从一个底面上一点，向另一个底面作垂线，这点与垂足(即垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥(圆锥)的高，是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(即垂线与底面的交点)之间的距离，有关线面平行与垂直的理论在第二章中将系统学习．2．(1)等底面积、等高的两个柱体(或锥体)的体积相等．(2)如果柱体与锥体的底面积相等，高也相等，则V柱＝3V锥． 注意：在上述推导过程中对于VⅠ＝VⅡ＝VⅢ的关系式的推导方法很重要，在解决棱锥的体积问题时常常会用到这种转化思想．(3)由锥体的体积公式可以推导出台体的体积公式．我们已知，棱台、圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的．因此，台体的体积可以用两个锥体的差来计算． 设任意台体(棱台或圆台)的上、下底面的面积分别是S′、S，高是h.截得台体时去掉的锥体的高是x，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是V′、V(如图)这时， 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如图所示：可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例． [例1]长方体相邻三个面的面积分别为2、3、6求它的体积． 已知正六棱柱最长对角线为13cm，侧面积为180cm2，则此棱柱的体积为________． [例2]三棱台ABC－A1B1C1中，ABA1B1＝1:2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为()A．1:1:1B．1:1:2C．1:2:4D．1:4:4[分析]如图，三棱锥B－A1B1C可看作棱台减去两个三棱锥A1－ABC和C－A1B1C1后剩余的几何体，分别求几何体的体积，然后相比即可． 总结评述：三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，割补法是重要的方法． [解析](1)如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面积分别为S1、S2.依题意，得 [例3]如图，三棱锥S－ABC的各个面都是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是棱BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得旋转体的体积．[分析]△SDE绕SE所在直线旋转形成两个圆锥，它们的底是公共的． [解析]如图，连接AE，因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形，且SE和AE分别是它们的中线，所以SE＝AE，从而△SEA是等腰三角形，由D是SA的中点知，ED⊥SA，又由 Rt△ABC中，∠B＝90°，E、F分别是边AB、AC的中点，△AEF和梯形EBCF各绕直线BC旋转一周，所得旋转体的体积记为V1和V2，问V1和V2哪个大？________[答案]V1＝V2 [例4]一扇形铁皮AOB，半径OA＝72cm，圆心角∠AOB＝60°，现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面)，则OC应取多少？并求这个容器的容积． [答案]C (09～10学年广东高考调研)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为() A．24B．80C．64D．240[答案]B [答案]D 二、填空题2．(2010·天津文，12)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________． [答案]3 3．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是__________． 4．一个棱锥的高被平行于底面的平面截成上、下两部分的比为1:2，那么这个截面将棱锥分成上、下两部分的体积比为________．[答案]1:26[解析]棱锥被截下的小棱锥的高与原棱锥的高的比为1:3，故体积比为1:27，∴截得上、下两部分的体积之比为1:26.