数学规范训练：1.3.2球的体积和表面积 Word版解析版

第一章1.31.3.2【基础练习】1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()48πA．πB．33C．43πD．323π【答案】C【解析】由题意可知6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则3a＝2R，∴R＝3，4∴V＝πR3＝43π.球32．已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．4πB．8π82π42πC．D．33【答案】B【解析】∵正六棱柱的底面边长为1，高为2，∴正六棱柱体对角线的长为22＋22＝22.又正六棱柱的顶点在同一球面上，∴正六棱柱体对角线恰好是球的直径，得球半径R＝2，则球的表面积为S＝4πR2＝8π.故选B．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()42A．8＋πB．8＋π3342C．4＋πD．4＋π33 【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱与半球的组合体，故体积V＝1421×2×4＋×π＝8＋π，故选B．2334．正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶9【答案】C13【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故22所求的比为1∶33.9π5．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为2________．【答案】3493【解析】设正方体棱长为a，球半径为R，则πR3＝π，∴R＝，∴3a＝3，∴a＝3.3226．(2019年贵州贵阳适应性考试)某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2cm的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________cm3.【答案】4π14π【解析】零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为××23231－×π×22×1＝4π(cm3)．37．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？ 4π5【解析】设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V＝2××23＝球3125π(cm3)，3此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，125π5所以＝π×52×h，解得h＝，335即若取出这两个小球，则水面将下降cm.38．在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．【解析】设这个球的半径为R.∵PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，∴以PA，PB，PC为相邻三条棱可以构造正方体．又P，A，B，C四点是球面上四点，3∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．∴2R＝3a，R＝a.24433∴所求体积为πR3＝π×a3＝πa3.3322【能力提升】9．在四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2,3,4.若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为()A．23πB．25πC．27πD．29π【答案】D【解析】依题意知原几何体是一个三棱锥，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为4,2,3129的长方体的一部分，则其外接球的半径为R＝42＋22＋32＝，故这个球的表面积为S＝22294πR2＝4π2＝29π.210．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于() A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球1的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(62＋8－10)＝2.故选B．11．(2019年浙江嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【答案】3π【解析】过圆锥的高作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O和外接圆⊙O，且两圆同12圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O的半径为r＝1，1∴△ABC的 1边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V＝×π×3×3＝3π.312.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)【解析】如图所示，过C作CO⊥AB于O.在半圆中可得∠BCA＝90°，11∠BAC＝30°，AB＝2R，3∴AC＝3R，BC＝R，CO＝R.12∴S＝4πR2，球33S圆锥AO侧＝π×R×3R＝πR2，12233S圆锥BO侧＝π×R×R＝πR2.122∴S＝S＋S圆锥AO侧＋S圆锥BO侧几何体表球11 11311＋3＝πR2＋πR2＝πR2.22211＋3故旋转所得几何体的表面积为πR2.2