高中数学《1.3.2球的体积和表面积》学案 新人教A版必修

1.3.2球的体积和表面积一．学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二．重点、难点： 重点： 难点：三．知识要点：1.表面积：（R：球的半径）.2.体积：.四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为，∴，∴，∴直径，即空心钢球的内径约为.【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴.【例3】（04年辽宁卷.10）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.A．B．C．D．【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3，∴四边形为正方形.∴小圆半径.由得，解得.∴球的体积.所以选A.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和表面积公式.【例4】推导球的表面积公式.解：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高.因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为： ，又∵，且，∴可得.又∵，∴，∴即为球的表面积公式点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式.若把半球中垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积.由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和.探究的关键都是先极限分割，然后求和.第7练§1.3.2球的体积和表面积五．目标检测：（一）基础达标1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）.A.B.C.D.2．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）.A.B.C.D.3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（  ）.A.以上四个图形都是正确的 B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的 D.只有(1)(2)是正确的4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）.A.B.C.D.都不对5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（）.A.B.C.D.6．若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是.7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为，体积为.（二）能力提高8．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积. （三）探究创新10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.