1.3.2 球的体积和表面积

1.3.2球的体积和表面积 1.掌握球的体积、表面积公式.2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.难点：推导球的体积和面积公式中空间想象能力的形成. 地球我们可以近似看成一个球体 柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和展开图圆台圆柱圆锥 球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就是我们学习的内容.柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体 怎样求球的体积? r=Þr=mVVm怎样求球的体积? h实验：排液法测小球的体积 h实验：排液法测小球的体积 h实验：排液法测小球的体积 h实验：排液法测小球的体积 h实验：排液法测小球的体积 h实验：排液法测小球的体积 h实验：排液法测小球的体积 hH小球的体积等于它排开液体的体积实验：排液法测小球的体积 割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想. 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．球的体积分割求近似和化为准确和 问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C2AO OROA球的体积 球的体积 球的体积 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．球的表面积 球的表面积 第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：OO球的表面积 第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面积 第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥O球的表面积 球的体积与表面积1.球的体积公式：2.球的表面积公式： 例1（课本P27例4）：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. 变式训练1：(tb9702301)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题讲解 变式训练2：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是. OABC例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r， OABC例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积． 变3：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()(A)πa2(B)πa2(C)πa2(D)5πa2【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径即可. 【解析】选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又AD=a，AO=a，OO2=，设球的半径为R，则∴S球= 1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________. 3.(2010·湖北高考)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.【解析】设球的半径为r，则解得r=4.答案:4 4.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍.解：设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为V，则扩大后的半径为3R，表面积为S′表，体积为V′,∴答案：927 熟练掌握球的体积、表面积公式： 不能忍受批评，就无法尝试新事物。