《球的体积和表面积》教案

《球的体积和表面积》教案教学目标1、知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割一一求和一一化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.⑵能运用球的血积和体积公式灵活解决实际问题.⑶培养学生的空间思维能力和空间想彖能力.2、过程与方法4通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式^=-刀，和面积公3式S=4“X的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想.3、情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和而积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.教学重难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.难点：推导体积和面积公式中空间想彖能力的形成.教学过程一、创设情景提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.二、探究新知1.探究球的体积公式回顾祖Hffl原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.构造新的儿何体，结合祖眶原理推导球的体积公式（见P32页）. 球的体积公式:2•探究球的表面积公式设球0的半径为/?,我们把球面任意分割为-•些“小球面片S它们的面积分別用AS1,AS2,---,A5/,••-表示，则球的表而积：S=+AS2+•••+as,+…以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积AS,可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径/?近似地等于小棱锥的高用，因此，第i个小棱锥的体积当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积：犷10，V=—(/q・AS|+/22・AS2+…+/2厂AS,+・・・)，又•:h产R,且S=AS,+AS2h卜A5Z+…・・・可得V^-RS,3414又\-V=-7tR\:.-RS=-ttR\333・・・s=4余即为球的表而积公式三、例题示范例1已知过球面上A,5C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.解：设截面圆心为0‘，连结02,设球半径为则。zA=-x—x2=^，323在Rt\0'0A中，0屮=ox+0'02，疋=(迹尸+丄疋，...R=f,343•tS=47UR2=—7T.9例2.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为、用，求球的表面积和体积. •A 解：作轴截面如图所示，CCI般，AC=y/i•斥=2也,设球半径为/?,则R2=0C2+CC，2=(V6)2+(>/3)2=9:.R=3,:.S球=4ttR2=36龙，匕求=-71^=36龙.个例3.表面积为324兀的球，其内接正四棱柱的高是14,求这正四棱柱的表面积解：设球半径为/?,正四棱柱底而边长为则作轴截面如图，AA'=14,AC=近口‘又・・・4龙/?2二324龙，・・・/?二9,・•・AC=JAL-CC"=“，・・・g=8，・・・S衣=64x2+32x14=576.例4.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体枳等于圆柱体积的2；3(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。证明：(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.4匕=_龙疋因为3禺柱=7iR2-2R=2/rR\2所以，V球乜阪•(2)因为S球=4兀F,S圆柱侧二2兀R・2R=4兀以,所以，=S圆柱侧.四、练习反馈1.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的—倍;2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍； 1.把半径分别为3,4,5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；2.正方体全面积是24,它的外接球的体积是，内切球的体积是• 答案：1.32.73.65球02、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球03的表面上,求三个球的表面积Z比.分析:球的表血积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之问的关系即可.2解：设正方体棱长为。，则三个球的半径依次聲、琴a，・••三个球的表面积之比是S,:S2:S3=1:2:3.五、小结归纳球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割n求近似和n化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法一一极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练裳握.六、作业布置作业P29练习B组1、2、3.