高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 备课资料

备课资料知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐.我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径.现举例说明如下：图8如图8，在三棱锥S—ABC中，SA=AB=AC=1，∠BAC=90°，SA⊥面ABC，求三棱锥S—ABC的内切球的半径.解：设内切球的球心为O，球的半径为r,则VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC.又∵VO—SAB、VO—SAC、VO—SBC、VO—ABC的高都是r，SA⊥面ABC，∴VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC=(S△SAB+S△SAC+S△SBC+S△ABC)=.∴r=.点评：若一个简单n面体有内切球，且简单n面体的各个面的面积分别为S1,S2,S3,…,Sn，简单n面体的体积为V，则此简单n面体的内切球的半径为r=.用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法.