《球的表面积和体积》讲课稿汇编

《球的表面积和体积(tǐjī)》第一页，共51页。 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度(hòudù)相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？问题(wèntí)一实际(shíjì)问题第二页，共51页。 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度(hòudù)，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题(wèntí)二实际(shíjì)问题第三页，共51页。 怎样(zěnyàng)求球的表面积和体积？提出(tíchū)问题球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样(zěnyàng)求球的表面积和体积呢？第四页，共51页。 h实验(shíyàn)：排液法测小球的体积实验(shíyàn)方法第五页，共51页。 h实验(shíyàn)：排液法测小球的体积实验(shíyàn)方法小球的体积等于(děngyú)它排开液体的体积曹冲称象H第六页，共51页。 假设(jiǎshè)将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾圆面积公式(gōngshì)的推导温故知新(wēngùzhīxīn)第七页，共51页。 割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形(zhèngduōbiānxíng)的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想．极限(jíxiàn)思想第八页，共51页。 已知球的半径为R,用V表示(biǎoshì)球的体积.AOAOB2C2r2r3r1球的体积(tǐjī)第九页，共51页。 OROA球的体积(tǐjī)第十页，共51页。 球的体积(tǐjī)第十一页，共51页。 球的体积(tǐjī)第十二页，共51页。 在球的体积公式的推导过程(guòchéng)中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：球的体积(tǐjī)即先将半径n等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些(zhèxiē)近似值相加，得出半球的近似体积；当n无限变大时，就可得到半球的体积．第十三页，共51页。 例1.钢球直径(zhíjìng)是5cm,求它的体积.例题(lìtí)讲解第十四页，共51页。 (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径(wàijìnɡ)是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径(nèijìnɡ)为2xcm,则钢球的质量是答:空心(kōngxīn)钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:例题讲解第十五页，共51页。 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法(wúfǎ)用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式(gōngshì)的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式(gōngshì)．球的表面积第十六页，共51页。 第一步：分割(fēngē)球面(qiúmiàn)被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积(tǐjī)为：OO球的表面积第十七页，共51页。 第二步：求近似(jìnsì)和由第一步得：OO球的表面积第十八页，共51页。 第三步：化为准确(zhǔnquè)和如果网格分的越细,则:“小锥体(zhuītǐ)”就越接近小棱锥O球的表面积第十九页，共51页。 例1 已知球的表面积为4π，求它的体积(tǐjī)解 设球的半径(bànjìng)为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，所以(suǒyǐ)球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.变式练习1已知球的体积为36π，求它的表面积（）A12πB24πC36πD48πc题型一球的表面积与体积第二十页，共51页。 题型二 球的组合体与三视图例2（2016年辽宁卷）某个(mǒuɡè)几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积__________________.解： 由三视图可知(kězhī)该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为该几何体的表面积是为第二十一页，共51页。 反思与感悟1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠(chóngdié)和交叉.第二十二页，共51页。 (1)若球的表面积变为原来(yuánlái)的2倍,则半径变为原来(yuánlái)的倍.(2)若球半径变为原来(yuánlái)的2倍，则表面积变为原来(yuánlái)的倍.(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是.(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是.练习(liànxí)随堂练习(liànxí)影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.第二十三页，共51页。 球半径的求法方法(fāngfǎ)一：直接法方法(fāngfǎ)二：构造直角三角形方法(fāngfǎ)三：补形第二十四页，共51页。 一、直接(zhíjiē)法第二十五页，共51页。 正方体的内切球,棱切球,外接球正方体与球第二十六页，共51页。 切点：各个面的中心。球心(qiúxīn)：正方体的中心。直径：相对两个面中心连线。o球的直径(zhíjìng)等于正方体棱长。一、正方体的内切球第二十七页，共51页。 例题(lìtí)3 (2015年全国卷改编)一个球内切于棱长为2的正方体，求它的表面积。题型三 球的切接问题(wèntí)ABCDD1C1B1A1O大显身手(dàxiǎnshēnshǒu)我最棒第二十八页，共51页。 二、正方体的棱与球相切（棱切球）球的直径等于(děngyú)正方体一个面上的对角线长切点：各棱的中点。球心：正方体的中心。中学学科网直径(zhíjìng)：“对棱”中点连线第二十九页，共51页。 例4、一个(yīɡè)球与这个棱长为2的正方体各条棱相切，求它的体积。ABCDD1C1B1A1O第三十页，共51页。 ABCDD1C1B1A1O对角面正方体外接球的直径(zhíjìng)等于正方体的体对角线。三、正方体的外接球第三十一页，共51页。 例5、一个球过这个(zhège)棱长为2的正方体的各个顶点，求这个(zhège)球的表面积.ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O第三十二页，共51页。 正方体的内切球，棱切球，外接球三个球心(qiúxīn)合一半径(bànjìng)之比为：第三十三页，共51页。 长方体的外接球对角(duìjiǎo)面第三十四页，共51页。 例6、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一(tóngyī)球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【解题关键】正方体的体对角线与球的直径(zhíjìng)相等。第三十五页，共51页。 练习(liànxí).如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们(tāmen)中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O正方体的外接球变题1.如果(rúguǒ)球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果(rúguǒ)球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系第三十六页，共51页。 二、构造(gòuzào)直角三角形第三十七页，共51页。 球的性质(xìngzhì)1.用一个平面去截球，截面(jiémiàn)是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心,半径(bànjìng)等于球半径(bànjìng);小圆--截面不过球心A2.球心和截面圆心的连线垂直于截面第三十八页，共51页。 OABC例7.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离(jùlí)等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．第三十九页，共51页。 解析 如图，设截面圆的圆心(yuánxīn)为O′，M为截面圆上任一点，第四十页，共51页。 反思与感悟(gǎnwù)：利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.MOO’MOO’第四十一页，共51页。 三、补形法第四十二页，共51页。 ACBPO类型(lèixíng)一、棱两两垂直第四十三页，共51页。 ADCBPC变式1.第四十四页，共51页。 第四十五页，共51页。 C变式3.第四十六页，共51页。 类型(lèixíng)二、直棱柱第四十七页，共51页。 解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。第四十八页，共51页。 ABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径例10.求棱长为a的正四面体(zhènɡsìmiàntǐ)D–ABC的外接球的表面积。类型(lèixíng)四、正四面体与球第四十九页，共51页。 再 见第五十页，共51页。 此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持(zhīchí)，我们努力做得更好！谢谢第五十一页，共51页。