数学必修二球的表面积和体积

数学必修二球的表面积和体积一、选择题1．两球表面积之比为1:4，则它们的半径之比为(  )A．1:2B．1:4C．1:D．1:2[答案] A[解析] 由＝，得＝.2．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(  )A．3cmB．6cmC．8cmD．12cm[答案] D[解析] 方法1：大球半径应大于10cm，故选D3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于(  )A.B．1C．2D．3[答案] D4．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是(  )A．2R3B.πR3C.R3D.R3[答案] C5．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为(  )A．RB．2RC．3RD．4R[答案] D6．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(  )A．9πB．10πC．11πD．12π[答案] D[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.7．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(  )A.B. C.D.[答案] A[解析] 由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.8．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是(  )A．6:5B．5:4C．4:3D．3:2[答案] D[解析] 设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴＝＝.9．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(  )A．20B．25C．50πD．200π[答案] C[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π.10．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(  )A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲S乙．二、填空题11．长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．[答案] [解析] 该球的半径为＝2，则该球的体积是×23＝.12．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________．[答案] [解析] 设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝13．圆柱OO′的底面半径为4，高为，球M的体积等于圆柱OO′的体积，则球M的半径等于________．[答案] 4[解析] 设球M的半径为r，则πr3＝π×42×，解得r ＝4，即球M的半径为4.14．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.[答案] 4[解析] 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.三、解答题15．(2011·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积． [解]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．S＝×4πR2＋πR2＝12π，V＝πR3×＝π.16．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．[解析] (1)∵半球部分容量为全试管容量的，∴半球部分与圆柱体部分容量比为，即＝∴h＝r，πr3×＝108π×∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝πr3×＋πr2×(h－4)＝π×33×＋π×32×6＝72π(cm3)．17．体积相等的正方体、球、(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小． [解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝a，r＝a，∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，S3＝6π2＝6π·a2＝a2，∴S23a2＝a2，即S1>S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2