《球的体积和表面积》教案

《球的体积和表面积》教案教学目标1、知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力.2、过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝4πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想.3、情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.教学重难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.教学过程一、创设情景提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.二、探究新知1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页). 球的体积公式：.2.探究球的表面积公式设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:，又∵，且∴可得，又∵，∴，∴即为球的表面积公式三、例题示范例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，，∴，∴，∴．例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积. 解：作轴截面如图所示，，，设球半径为，则∴，∴，．例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴．例4.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.因为所以,(2)因为,,所以,.四、练习反馈1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的____倍；2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加_______倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是_______；4.正方体全面积是，它的外接球的体积是_______，内切球的体积是________． 答案：1.32.73.64.，5球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，∴三个球的表面积之比是．五、小结归纳球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．六、作业布置作业P29练习B组1、2、3.