【人教A版】必修2《1.3.2球的体积和表面积》课后导练含解析

课后导练基础达标1两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是（）A.1B.2C.3D.4解析：设两球半径分别为r1和r2，且r1≥r2，则有π（r13+r23）=12π，∴r13+r23=9，又2π（r1+r2）=6π，∴r1+r2=3，∴（r1+r2）（r12-r1r2+r22）=9，∴r12-r1r2+r22=3，∴（r1+r2）2-3r1r2=3，∴r1r2=2，∴（r1-r2）2=（r1+r2）2-4r1r2=9-8=1，∴r1-r2=1，故选A.答案：A2三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A.倍B.倍C.2倍D.3倍解析：设三个球的半径分别为r1、r2、r3，则有r1∶r2∶r3=1∶2∶3，令r1=1，r2=2，r3=3，则有S3=4πr32=36π，S1+S2=4π（r12+r22）=20π，故选B.答案：B3如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的面积之比为（）A.4∶3B.3∶1C.3∶2D.9∶4解析：作轴截面，设球半径为r，则AO=2r，OD=r，∴∠BAO=30°∴AB=r，BE=r，∴S锥∶S球=3∶2，选C.答案：C4两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个球，这个大球的半径为（）A.2B.C.D.解析：只需求出大球的体积，就可求出大球的半径，设大球的半径为R，则有V大球=πR3=2×π×13=π，∴R=，故选B. 答案：B5一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为（）A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶9解析：设球半径为R，则V球=πR3，圆锥高为2R，底半径为R，则V锥=πR2·2R，∴V锥∶V球=1∶2.答案：C6两球面积之差为60cm2，它们的大圆周长之和为30cm，两球的直径之差为___________.解析：设两球半径分别为r1与r2，则r1＞r2，则有4π（r12-r22）=60，又2π（r1+r2）=30.∴r1-r2=1cm，故2（r1-r2）=2cm.答案：2cm7如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________.解析：设球半径为R，则高为2R，∴V圆柱∶V球∶V圆锥=πR2·2R∶πR3∶πR2·2R=3∶2∶1.答案：3∶2∶18如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了会溢出杯子吗？解：因为V半球=×πR3=×π×43≈134（cm3），V圆锥=Sh=πr2h=π×42×12≈201（cm3），所以冰淇淋融化了不会溢出杯子.综合运用9毛泽东《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”，又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________________万里.解析：∵∴R=2r，∴，∴x=40000=4万里.答案：410两个多面体都有内切球，两内切球的半径相等，这两个多面体的体积之比为p，全面积之比为q，则p与q的关系为_______________.解析：设两个多面体的表面积为S1、S2，体积为V1、V2，由题意得V1=S1·r，V2=S2·r， ∴V1∶V2=S1∶S2，即p=q.答案：p=q11在xOy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）、（0，3），求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.解：该几何体是由一个圆台和一个圆锥组合而成，即在圆台内挖去一个圆锥，圆台的上、下半径分别是1，3，高是2，所以V圆台=π（R2+rR+r2）h=π.圆锥的底面半径是1，高是1，所以圆锥的体积V=πR2h=π.所以所求几何体的体积是V=π.拓展探究12在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=a，且PD是四棱锥的高.在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径.解：当这个球是四棱锥的内切球时，球半径最大.设球心为O，半径为R，则VO—PAB+VO—ABCD+VO—APD+VO—PBC+VO—PDC=VP—ABCD，即R（S△PAB+SABCD+S△PAD+S△PBC+S△PDC）=PD·SABCD，由条件知PD=a，AB=a，PA=PC=a.∴BD=a，∴PB=a，从而由勾股定理逆定理知PA⊥AB，PC⊥BC.∴SABCD=a2，S△PAD=a2，S△PAB=a2，S△PBC=a2，S△PDC=a2.∴R（2a2+a2）=a·a2 ∴R=a.