高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 习题
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高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 习题

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时间:2022-08-13

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资料简介
1.3.2球的体积和表面积一、选择题1.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为(  )A.2∶3B.4∶9C.∶D.∶解析:选B 设两个球的半径分别为r1,r2,则==.∴=,==.2.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为(  )A.B.C.8πD.解析:选C 设球的半径为R,则截面圆的半径为,∴截面圆的面积为S=π2=(R2-1)π=π,∴R2=2,∴球的表面积S=4πR2=8π.3.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(  )A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2解析:选B 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线为=a,又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线,所以2R=a,则S球=4πR2=4π2=6πa2.4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(  )A.4∶3B.3∶1C.3∶2D.9∶4解析:选C 作轴截面如图,则PO=2OD,∠CPB=30°,CB=PC=r,PB=2r,圆锥侧面积S1=6πr2,球的面积S2=4πr2,S1∶S2=3∶2.5.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(  )A.πB.4πC.4πD.6π 解析:选B 利用截面圆的性质先求得球的半径长.如图,设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,则OO′=,O′M=1,∴OM==,即球的半径为,∴V=π()3=4π.二、填空题6.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了cm,则这个铁球的表面积为________cm2.解析:设该铁球的半径为r,则由题意得πr3=π×102×,解得r3=53,∴r=5,∴这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm2).答案:100π7.球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为a,则球的表面积为________.解析:正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过四个切点及球心作截面,如图,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4πr=πa2.答案:πa28.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.解析:由三视图知原几何体是两个半径为的球体相切放置,上面放长、宽、高分别是6、3、1的长方体,直观图如图. 该几何体的体积V=2V球+V长方体=2×π3+6×1×3=18+9π.答案:18+9π三、解答题9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.(2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为R的球面,两个截面圆的半径为r1=24cm,r2=15cm,两截面间的距离为d=27cm,求球的表面积.解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1、A2B2,上述大圆的垂直于A1B1的直径交两截面圆于O1、O2,设球心到两截面的距离分别为d1、d2,则解得R=25.当|d1-d2|=27时,其与②③组成的方程组无解.∴S球=4πR2=2500π(cm2).

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