高中数学人教A版必修2 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积 习题

1.3.2球的体积和表面积一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(  )A．2∶3B．4∶9C.∶D.∶解析：选B 设两个球的半径分别为r1，r2，则＝＝.∴＝，＝＝.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(  )A.B.C．8πD.解析：选C 设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(  )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：选B 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为＝a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝a，则S球＝4πR2＝4π2＝6πa2.4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(  )A．4∶3B．3∶1C．3∶2D．9∶4解析：选C 作轴截面如图，则PO＝2OD，∠CPB＝30°，CB＝PC＝r，PB＝2r，圆锥侧面积S1＝6πr2，球的面积S2＝4πr2，S1∶S2＝3∶2.5．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(  )A.πB．4πC．4πD．6π 解析：选B 利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π()3＝4π.二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.答案：πa28．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：由三视图知原几何体是两个半径为的球体相切放置，上面放长、宽、高分别是6、3、1的长方体，直观图如图． 该几何体的体积V＝2V球＋V长方体＝2×π3＋6×1×3＝18＋9π.答案：18＋9π三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.10．(2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24cm，r2＝15cm，两截面间的距离为d＝27cm，求球的表面积．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1、A2B2，上述大圆的垂直于A1B1的直径交两截面圆于O1、O2，设球心到两截面的距离分别为d1、d2，则解得R＝25.当|d1－d2|＝27时，其与②③组成的方程组无解．∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)．