球的体积和表面积推导过程

人教A版高中数学必修2微课系列主讲教师边城高级中学张秀洲 球的体积高等于底面半径的旋转体体积对比R1333V圆锥RV半球?V圆柱R332343猜测:VR,从而VR.半球33 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是R和R的矩形.2那么圆的面积就近似等于R. 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．分割求近似和化为准确和下面我们就运用上述方法导出球的体积公式即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.AAC2OB2O22R222R2rRR,rR(),rR(),123nn AriRO(i1)nRO第i层“小圆片”下底面的半径：2R2rR[(i1)],i1,2,n.in 2R2rR[(i1)],i1,2,,nin32RRi12Vr[1()],i1,2,niinnnVVVV半球12n3222R12(n1)[n]2nn3R1(n1)n(2n1)[n]2nn631(n1)(2n1)R[1]2n6 11(1)(2)3nnVR[1]半球61当n时,0.n2343VR从而VR.半球3343定理：半径是R的球的体积为：VR3 球的表面积球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．①球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.②若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：S，S，S,,S123n则球的表面积：OSSSSS123n设“小锥体”的体积为Vi则球的体积为：SiVVVVV123nVOi 第二步：求近似和SihiOOVi1VShiii3由第一步得：VVVVV123n1111VShShShSh112233nn3333 第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:“小锥体”Si就越接近小棱锥hih的值就趋向于球的半径RiOVi1VSRii31111VSRSRSRSRi23n3333Si11R(SSS...S)RSRi23n33OVi又球的体积为：V4R334312RRS,从而S4R33 总结：4πR2