球的体积和表面积(比赛稿)

--球的体积和表面积-- §9.11球的体积和表面积例题讲解课堂作业教学目标重点难点球表面积球的体积课堂练习封底退出课堂小结 掌握球的体积、表面积公式．掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力．能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．教学目标 球的体积公式的推导球的体积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导教学重点教学难点重点难点 R高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．球的体积我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．球的体积分割求近似和化为准确和 问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C2球的体积AO OROA球的体积 球的体积 球的体积 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．球的表面积 球的表面积 第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：OO球的表面积 第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面积 第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥O球的表面积 例1.钢球直径是5cm,求它的体积.(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)例题讲解 (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体侧棱长为5cm例题讲解 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题讲解 OABC例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，例题讲解 OABC例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．例题讲解 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.83.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习一课堂练习 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习二1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.课堂练习 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.6.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习二课堂练习 了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结 球和它的性质 与定点的距离等于或小于定长的点的集合．一.球的概念1．球体与定点的距离等于定长的点的集合球体(简称球)是实心的,球面是空心的简称球２、球面 其中球心球的半径球的直径记作：球O３、球是以AB为直径的半圆绕AB旋转一周而得到的 观察球的形成过程模拟演示球的概念 二、球的截面及其性质 用一个平面去截一个球,截面是圆面2.球心到截面的距离d与球的半径R,小圆半径r,有下面的关系:1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面.截面的性质：截面的定义：Oß1、截面性质OO’⊥截面圆O’ 2、大圆小圆观察球被平面所截发生的现象 1、大圆.o经过球心的截面圆2、小圆不经过球心截面圆（1）大圆小圆概念 （2）大圆小圆性质 三、地球仪中的经纬度（1）经线和经度 由地理知识知：AOB为P点所在经线的经度.（2）某点的经度是经过这点的经线和地轴确定的半平面与0度经线(本初子线)和地轴确定的半平面所成二面角的度数.（1）地球的经线就是球面上从北极到南极的半个圆.1.地球的经度本初子午线地轴赤道北极PABO地球经度 点击图片演示课件（2）纬线和纬度 2.地球的纬度（1）赤道是一个大圆，其它的纬线都是小圆.（2）某点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数.由地理知识知：或AOP的度数为P点纬度.地轴赤道北极PAO经度纬度 某点的纬度（平面图）—经过这点的球半径与赤道平面所成的角的度数。ABO1Oα如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度.即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.PQO1.定义三、球面距离 2.两点的球面距离公式飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行.PQ的长度⌒PQO球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角θ，再求出弧长L=Rθ.球面距离 课堂练习1、判断正误：（对的打√，错的打×）（1）球只有一个面。（2）在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（）（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（）（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（）（5）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（）√（√）××√ 例1.我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬40°纬线的长度约等于多少km（地球半径约为6370km）.OAB轴截面BOK40°A2、例题讲解 解：如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的半径，所以OK⊥AK.设c是北纬40°的纬线长，因为∠AOB=∠OAK=40°，所以c=2π·AK答：北纬40°纬线长约等于3.066×104km.C≈3.066×104（km）.≈2×3.142×6370×0.7660，=2π·OAcosOAKABOK40°由计算器算得2、例题讲解 一：球表面积和球体积公式练1：地球和火星都可近似地看成球体，地球半径为6370km,火星的直径约为地球直径的一半.1）求地球的表面积和体积2）火星的体积约为地球体积的几分之几？ 例1：一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？分析：分别计算它们的体积进行比较4cm12cm 例2：一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求钢球的半径.3cm8cm3cm8.5cm 问：圆有内接长方形，那么球有内接长方体吗？球心在哪里？半径怎么求？若内接长方体的边长为3、4、5，则球的表面积是多少？ 球的外切正方体 在半径为13的球面上有A、B、C三点AB=6,BC=8,CA=10,则过A、B、C三点的截面与球心的距离为。ABC.oo′练习： 课堂小结1、球的概念，球截面的性质2、地球经、纬度3、球面上两点间的距离 再见