球的体积和表面积公式具体推导过程

1..3.2球的体积和表面积（1）教学目的：使掌握了解球的体积公式的推导过程，能记住球的体积公式，并会用公式解决问题。教学重点：掌握球的体积公式及其应用。教学难点：球的体积公式推导是教学的难点。教学过程一、复习提问柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？二、新课设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近R似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底n面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：2R2rR[(i1)]，（i＝1,2,3，···，n）in第i层“小圆片”的体积为：322RRi1V≈πri·＝1，（i＝1,2,3，···，n）nnn半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn3222R12(n1)≈{1＋（1－）＋（1－）＋···＋［1－］}222nnnn3222R12(n1)2221＝［n－］（注：12nn(n1)(2n1)）2nn6 11R31(n1)n(2n1)(n1)(2n1)(1)(2)33nn＝［n－2＝R(12）＝R1①nn66n6当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。11事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时，有nn2343V半径＝R，所以，半径为R的球的体积为：V＝R331..3.2球的体积和表面积（2）教学目的：使掌握了解球的表面积公式的推导过程，能记住球的表面积公式，并会用公式解决问题。教学重点：掌握球的表面积公式及其应用。教学难点：球的表面积公式推导是教学的难点。教学过程一、复习提问柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么？二、新课球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，„„Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋„„＋Sn把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，„，Vn那么球的体积为：V＝V1＋V2＋„＋Vn由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为S’i，于是，它的体积为：1V’i＝hiS’i，（i＝1,2,„，n）31这样就有：Vi≈hiS’i，（i＝1,2,„，n）31V≈（h1S’1＋h2S’2＋„＋hnS’n）①3（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi（i＝1,2,„，n）就趋向于R，S’i就趋向于Si，于是，由1①可得：V＝RS3434312又V＝R，所以，有R＝RS即：S＝4πR333例5、图1.3－10表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m，高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）？ 分析：花柱的表面积是圆柱的表面积和半球的表面积，求出总面积乘于150朵，就是大约需要的鲜花朵数。练习：P301、2、3作业：P31B组第1题表面积、第3题