球的表面积与体积(一)

球的体积与表面积(一)执教：王勇 假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾：圆面积公式的推导 延伸阅读：割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。思考：能否也采取“分割”与“极限”思想，推导球的体积公式？ 把半球分割成n个薄片当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。 OR当n→∞时，每个薄片近似于圆柱设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。选第i层（由下而上），如右图。厚度：下底面半径：体积： 球的体积公式 用“祖暅原理”得到球体积公式R高等于底面半径的旋转体体积对比 例1.钢球直径是5cm,求它的体积.定理:半径是R的球的体积 变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得: 变式2:有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.作轴截面 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.课堂练习8倍 小结1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求和,取极限”的数学方法.2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点.3.一个公式:半径为R的球的体积是4.解决两类问题:两个几何体相切和相接作适当的轴截面 作业：P28练习1、2、3题 同学们再见！