1.3.2球的体积和表面积
1.掌握球体的体积公式和球面面积公式,会运用这些公式解决有关球体的体积和球面的面积计算问题. 2.初步学会用柱､锥､台､球的体积公式解决日常生活､生产实际中的某些应用问题,能将数学应用于实际,服务于工农业生产.
课前热身1.半径为R的球的体积是________. 2.半径为R的球的表面积是________.S=4πR2
名师讲解怎样分析与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”､“接点”作出截面图.
典例剖析题型一球的体积与表面积
例1:一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3).分析:由钢球的质量可求得钢球的体积,然后利用球的体积求出内径.
解:设空心钢球的内径为2xcm,那么钢球质量为 解得 由计算器得x≈2.24,∴2x≈4.5(cm). ∴空心钢球的内径约为4.5cm.
规律技巧:在球的有关运算中,主要是对半径r的运算,通常可以列出关于r的方程,解方程求出r.也可以画轴截面,利用平面几何知识求出r.
变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为() A.16πB.20π C.24πD.32π (提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱)
解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直径为该四棱柱的体对角线. ∴R∴S=4πR2=24π.答案:C
题型二组合体问题例2:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.
解:设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1所以
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如下图.所以S2=4πr22=2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作 正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有 所以S3=4πr23=3πa2.综上可得S1:S2:S3=1:2:3.
规律技巧:正方体内切球的直径等于正方体的棱长.正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长.
变式训练2:如右图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?
解:由图可知,半球的半径为4cm,圆锥的高为12cm. ∴V半球V圆锥π·42·12=64πcm3, ∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
题型三综合问题例3:正方体､等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱)､球的体积相等时,哪一个表面积最小?
解:设正方体棱长为a,等边圆柱底面半径为r,高为2r,球半径为R.则:V正方体=a3,V圆柱=πr2·2r=2πr3,
规律技巧:本例说明在表面积一定的情况下,球的容积最大.
变式训练3:一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的高为底面周长为3,那么这个球的体积为________.
解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,又高为所以球的直径为2,故球的体积为
易错探究例4:已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是________cm3.
错解:上半部分为半球体,下半部分是正方体,体积为答案:B
错因分析:半球体从每个方向看都是半圆,而三视图的侧视图中顶部并不是半圆,所以该几何体的顶部不是半球.正解:由三视图知,该几何体的下半部分是棱长为2的正方体.上半部分是半个圆柱.所以体积为V=8+π.答案:A
1.若球的大圆面积扩大为原来的2倍,球的体积扩大为原来的() A.8倍B.4倍C.2倍D.2倍解析:大圆的面积扩大为原来的2倍,半径扩大为原来的倍,所以球的体积扩大为原来的2倍.答案:C
2.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比为()解析:设正方体的棱长为a,依题意知,内切球的直径为a,∴球的表面积S球=4π,正方体的表面积S正=6a2. ∴S球:S正答案:D
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是() A.8πcm2B.12πcm2C.16πcm2D.20πcm2解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,∴球的半径为 ∴球的表面积S=4π.答案:B
4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的() A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3=π×33=36π,两个小球的体积和V1+V2=π(13+23)=12π.∴最大球的体积是其它两个球的体积和的3倍.答案:C
5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1､2､3,则此球的表面积为________.解析:设球的半径为r,则(2r)2=12+22+32,∴∴球的表面积S=4πr2=14π.14π
6.若一个球的体积为4π,则它的表面积为________.解析:设球的半径为r,则∴它的表面积S=4πr2=12π.12π
7.将一铜球放入底面半径为4cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高9cm,则这个铜球的半径为________.解析:设铜球的半径为r,依题意得
8.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如下图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,求h的值.
能力提升9.球面上有四个点P､A､B､C,如果PA､PB､PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.解:要求球的表面积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一个球内接正方体,其棱长为a.
10.如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛有高为h的水,放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切,求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.
解:如图,作轴截面,设球半径为R,水面上升后锥体顶点到水面的高度为x,则x=3R.由题意:V水+V球=V锥.
11.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是()
解析:∵几何体的体积为,高为1,∴底面积应为直角三角形,这时有V=×1×1×1=,适合题意,故选C.答案:C
12.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.解析:设球的半径为r,则πr2·6r=πr2·8+3·. ∴r=4.4
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