球的体积与表面积

球的体积及表面积 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？问题一实际问题 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？问题二实际问题 h怎样计算小球的表面积与体积？ 怎样计算小球的表面积与体积？hH小球的体积等于它排开液体的体积 割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。 假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3公式推导与“极限”思想 已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C2球的体积AO OROA球的体积 球的体积 球的体积 在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：即先将半径n等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当n无限变大时，就可得到半球的体积． 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．球的表面积 球的表面积 第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：OO球的表面积 第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面积 第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥O球的表面积 归纳公式1.定理：半径是R的球的体积为:2.定理：半径是R的球的表面积为: 课堂练习1.若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍;体积变为原来的倍。2.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是影响球的表面积及体积的只有一个元素,就是球的半径.3.将两个半径为1cm的铁球熔化后铸成一个大球,这个大球的半径是,表面积是4.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______. 例1：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱的体积（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R因为V球=πR3，34V圆柱=πR2·2R=2πR３所以V球=V圆柱32例题选析，32 证明：（2）设球的半径为R，则圆柱的地面半径也为R，高为2R因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2所以s球=S圆柱侧例1：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱的体积（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。，32 例2.一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？分析：分别计算它们的体积进行比较4cm12cm 例题选析例3.在半径为5cm的球内有一个截面,球心到该截面的距离为3cm,则该截面的面积为OO/ 课堂练习例4.在球心的同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49cm2和400cm2,求球的表面积OO1O2AB 例题选析例5.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求钢球的半径.3cm8cm3cm8.5cm 问:圆有内接长方形，那么球有内接长方体吗？球心在哪里？半径怎么求？1.如果一个长方体的八个顶点落在同一个球面上,那么称这个长方体为球的内接长方体,称球为长方体的外接球ABCDD1C1B1A1O2.球心落在长方体的对角线上,为对角线中点球的直径=长方体的对角线长3.长方体的长宽高分别为a,b,c,则其对角线: 4.如果一个球与正方体的每一个面都相切,则称正方体为球的外切正方体,称球为正方体的内切球球的直径=正方体的棱长 例6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O OABC例6.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，例题选析 1、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4лCD6л●●C解：设四面体为ABCD，为其外接球心。球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。连结BA·●●O●●BDAMR 2、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4лCD6л解法2构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为，选A