《球的表面积与体积》（人教）

高中数学人教A版(必修二)畅言教育《球的表面积与体积》◆教材分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用。值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点。◆教学目标【知识与能力目标】（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式。（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。【过程与方法目标】（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系。（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算。【情感态度价值观目标】通过柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系培养学生探索意识。用心用情服务教育 高中数学人教A版(必修二)畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】球的表面积和体积公式的应用。【教学难点】关于球的组合体的计算。◆课前准备◆多媒体课件◆教学过程（一）导入新课球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积。（二）推进新课、新知探究探究：我们有哪些方法可以求出球的体积和表面积？活动：学生讨论交流，得出结论：（1）利用公式V=;(2)排液法。教师介绍分割---极限法求球的体积与表面积的思想方法(了解即可，球的体积和表面积公式的证明以后证明。)球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。事实上如果球的半径为R，那么S=,v=（三）应用示例例1如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1用心用情服务教育 高中数学人教A版(必修二)畅言教育（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象。教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形。证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。则有V球=，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=。（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧。点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算。解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征。变式训练:设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()(A)πa2(B)πa2(C)πa2(D)5πa2【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径即可。【解析】选B。由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a。如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又AD=，AO=，OO2=，设球的半径为R，则=用心用情服务教育 高中数学人教A版(必修二)畅言教育（四）知能训练1、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿____＿cm3。2、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________。3、圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_4__cm。4、一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。（五）课堂小结本节课学习了：1、球的表面积和体积。2、计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积。3、空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积。求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开。（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高。用心用情服务教育 高中数学人教A版(必修二)畅言教育注意球没有高的结构特征。（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段。（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识。（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题。（六）作业课本本节练习1、2、3。◆教学反思略。用心用情服务教育