高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积检测

1.3.2球的体积和表面积A级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的(  )A．3倍       B．3倍C．9倍D．9倍解析：由V′＝27V，得R′＝3R，＝3则球的表面积比S′∶S＝＝9.答案：C2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(  )A.B.C．8πD.解析：设球的半径为R，则截面圆的半径为，所以截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，所以R2＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.答案：C3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(  )A．9π＋42B．36π＋18 C.π＋12D.π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π＋3×3×2＝π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(  )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是(  )A．4π＋24B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3， 所以R＝.故球的体积V＝πR3＝π×＝π.答案：π7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R、r(R＞r)，则：即，所以R－r＝2.答案：28.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.所以＝＝.答案：三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.因为圆柱的体积V圆柱＝πr2l＝π×12×3＝3π， 又两个半球的体积2V半球＝πr3＝π，因此组合体的体积V＝3π＋π＝π.10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径．解：设球的半径为R，由题意可得πR3＝π×32×0.5，解得：R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5cm.B级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(  )A.   B.   C．8π   D.解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，所以R＝，V＝πR3＝.答案：B2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆府直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)．答案：33．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2. 由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，所以R＝a，r＝a，所以S2＝4π＝4π·a2＝a2，S3＝6π＝6π·a2＝a2，所以S2＜S3.又6a2＞3＝，即S1＞S3.所以S1，S2，S3的大小关系是S2＜S3＜S1.