高一数学球的体积和表面积教案

课题：球的体积和表面积教学目标：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式和表面积公式解决有关问题教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学过程：一、创设情景，引入新课：提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。二、探究新知：1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)球的体积公式：2.探究球的表面积公式：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:，又∵，且∴可得， 又∵，∴，∴即为球的表面积公式三、例题示范,巩固新知：例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，，∴，∴，∴．例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积解：作轴截面如图所示，，，设球半径为，则∴，∴，．例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴． 例4.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.因为所以,(2)因为,,所以,.四、练习反馈,理解加深：补充练习：1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；4.正方体全面积是，它的外接球的体积是，内切球的体积是．答案：1.32.73.64.，5球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，∴三个球的表面积之比是．五、小结归纳：球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．六、作业布置：