1[1].3.2球的表面积与体积

11/25/2021球的表面积与体积 学习目标:1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割—求和—化为准确和”；2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；3、能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。 RR一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。一、球的体积: RR R设想一个球由许多顶点在球心,底面在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们看成真正的锥体.二、球的表面积: RS球表=4πR2 例1:钢球直径是5cm,求它的体积.(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题讲解 变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为()A.16πB.20πC.24πD.32π(提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱)解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直径为该四棱柱的体对角线.∴R∴S=4πR2=24π答案:C 训练:(2008·四川高考)一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的高为底面周长为3,那么这个球的体积为________.解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,又高为所以球的直径为2,故球的体积为 如下图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?课堂练习二解:由图可知,半球的半径为4cm,圆锥的高为12cm.∴V半球V圆锥π·42·12=64πcm3,∴冰激凌化了,不会溢出杯子. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?侧棱长为5cm两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.球内切于正方体 (变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里,能否装得下?半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系?球外接于正方体两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。 例4:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.解:设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1所以 (2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如下图.所以S2=4πr22=2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有所以S3=4πr23=3πa2.综上可得S1:S2:S3=1:2:3.思考:体积之比又是多少呢? 82.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习1:探究：若正方体的棱长为a，则：(1)正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径= 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习2:1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是___. 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.6.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习2:5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____. 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是()A.8πcm2B.12πcm2C.16πcm2D.20πcm2解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,∴球的半径为∴球的表面积S=4π.答案:B 4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3=π×33=36π,两个小球的体积和V1+V2=π(13+23)=12π.∴最大球的体积是其它两个球的体积和的3倍.答案:C 易错探究例4:(2010·广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是________cm3. 例2:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm)86618515151111x/y/z/ 解：这个奖杯的体积为V=V正四棱台+V长方体+V球V正四棱台V长方体=6×8×18=864V球=所以这个奖杯的体积为V≈1828.76(cm3) OABC例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，例题讲解 OABC例题讲解 能力提升例.球面上有四个点P､A､B､C,如果PA､PB､PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.解:要求球的表面积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一个球内接正方体,其棱长为a. 【总一总★成竹在胸】1.球的表面积公式；2.球的体积公式. 再见