必修2.1.3.2球的表面积与体积

§必修2.1.3.2 球的表面积与体积教学目标1．了解球的表面积和体积的计算公式．2．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题．学习内容知识梳理1．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.2．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．例题讲解题型一 求球的体积和表面积例1 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的(  )A．2倍B．2倍C.倍D．3倍解析：设改变前，后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝r.V′＝＝2×.答案：B点评：确定一个球的条件是球心位置和球的半径，已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．巩固 若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是________． A．3πB．2πC.πD．4π例2一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．解析：(1)当截面在球心的同侧时，图甲所示为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)．设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)．∴球的表面积为2500πcm2.(2)当截面在球心的两侧时，图乙所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R.∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)．设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500πcm2.点评：球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．巩固 用与球心距离为2的平面去截球，若球的体积为36π，则所得截面圆的面积为________．题型二 球的内接、外切几何体问题例3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：作出截面图，分别求出三个球的半径．设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图甲，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr21＝πa2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图乙，所以有2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr22＝2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图丙，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.点评：解决与球有关组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．下列结论常用：①正方体的8个顶点在同一个球面，则正方体的体对角线是球的直径；②球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；③球与正方体的8条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线． 巩固 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．题型三 球的体积、表面积的综合应用例4 一个直径为32cm的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9cm，则此球的半径为________cm.解析：V＝Sh＝πr2h＝πR3，R＝＝12cm.答案：12巩固 半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．综合题库A组1．(1)一个球的半径是2，它的体积为________．(2)一个球的半径是2，它的表面积是________．(3)一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的________倍．(4)一个球的体积是36π，它的表面积是________．2．若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积是(  )A．27πB．18πC．9πD．54π3．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(  )A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶16 4．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________．B组1．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是(  )A.B.C.D．2πC22．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为(  )A．4B．3C．2D．13．正方体的内切球和外接球的半径之比为(  )A.∶1B.∶2C．2∶D.∶34．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(  )A.  B.  C．8π  D.5．球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的________倍．6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________．C组1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为________． 2．球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．3．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最长的正方体，求此正方体的体积．4．如图所示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R＝2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算为100个这样的盖子涂色用涂料多少千克(精确到0.1kg)．归纳总结1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之比等于半径的平方比．2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空间几何向平面几何的转化．