必修2优质学案(第一辑)：球的体积和表面积

1.3.2　球的体积和表面积【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．【知识梳理】1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．【作业反馈】一、选择题1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)A．B．C．D．2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　)A．2倍B．2倍C．倍D．倍3．正方体的内切球和外接球的体积之比为(　　)A．1∶B．1∶3C．1∶3D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为(　　)A．1∶2∶3B．1∶∶C．1∶2∶3D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　)A．25πB．50πC．125πD．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为(　　)A．4∶9B．9∶4C．4∶27D．27∶4二、填空题7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．8．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则(　　)A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 【归纳总结】1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．3．2　球的体积和表面积答案【知识梳理】1．4πR2　4　2．πR3【作业反馈】1．A　[先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝r，再由体积公式求得体积比为．]2．B　[由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍．]3．C　[关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a．]4．C　[由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶∶，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶2∶3．]5．B　[外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝(a、b、c分别是长、宽、高)．]6．A　[设球半径为r，圆锥的高为h，则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]7．4解析　地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里．8．3cm解析　设球的半径为r，则36π＝πr3，可得r＝3cm．9．(1)球　(2)球解析　设正方体的棱长为a，球的半径为r． (1)当6a2＝4πr2时，V球＝πr3＝a3>a3＝V正方体；(2)当a3＝πr3时，S球＝4πr2＝6a2