高中数学 1.3.2球的体积与表面积学案设计 新人教A版必修2

第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积学习目标掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养转化与化归的数学思想方法.学习过程一、课题引入,问题探究问题1:圆的大小与半径有关,如何用半径来表示圆的面积?问题2:若球的半径为R,它的表面积和体积只与球的半径R有关,是以R为自变量的函数,如果球的半径为R,那么如何用半径R来表示球的表面积和体积?二、典型例题,加深理解【例1】如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的;(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.【例2】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为    . 【例3】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为    . 【例4】已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=r,则球的体积与三棱锥的体积之比是(  )A.πB.2πC.3πD.4π三、作业精选,巩固提高1.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π,则球的表面积是    . 2.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(  )A.1倍B.2倍C.倍D.倍3.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为R的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少? 布置作业课本P28练习第1,2,3题.参考答案一、问题1:S=πr2问题2:S=4πR2,V=πR3.二、【例1】证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.因为V球=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,所以,V球=V圆柱.(2)因为S球=4πR2,S圆柱侧=2πR·2R=4πR2,所以,S球=S圆柱侧.【例2】解析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径R=,则该球的表面积为S=4πR2=27π.答案:27π【例3】解析:长方体的对角线为,则球的半径为,则球的表面积为4π()2=14π.答案:14π【例4】解析:由题意得SO=r,为三棱锥的高,△ABC是等腰直角三角形,所以其面积是×2r×r=r2,所以三棱锥的体积是×r2×r=,又球的体积为,则球的体积与三棱锥的体积之比是4π.答案:D三、答案:1.100π 2.C3.解:作出圆锥和球的轴截面图如图所示,圆锥底面半径r=R,圆锥母线l=2r=2R,圆锥高为h=r=3R,∴V水=r2h-R3=·3R2·3R-R3=R3,球取出后,水形成一个圆台,下底面半径r=R,设上底面半径为r',则高h'=(r-r')tan60°=R-r'),∴R3=h'(r2+r'2+rr'),∴5R3=R-r')(r'2+Rr'+3R2),∴5R3=(3R3-r'3),解得r'=R=R,∴h'=(3-)R.答:容器中水的高度为(3-)R.