人教版数学必修二1.3球的体积和表面积18

1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式.2.掌握柱体、锥体、台体的体积的计算.3.会利用表面积和体积公式解决一些简单的实际问题. 1.柱体的表面积(1)棱柱的表面积：S表=_________.①其中底面周长为C,高为h的直棱柱的侧面积：S侧=___;②长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积：S表=____________;③棱长为a的正方体的表面积：S表=___.S侧+2S底Ch2(ab+ac+bc)6a2 (2)圆柱的表面积：底面半径为r,母线长为l的圆柱的侧面积：S侧=_____,表面积：S表=_________.2πrl2πr(r+l) 2.锥体的表面积(1)棱锥的表面积：S表=S侧+___;底面周长为C,斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧=_____.(2)圆锥的表面积：底面半径为r、母线长为l的圆锥的侧面积S侧=____,表面积：S表=________.S底πrlπr(r+l) 3.台体的表面积(1)棱台的表面积：S表=_____________.(2)圆台的表面积：两底面半径分别为r′,r,母线长为l的圆台的侧面积：S侧=__________,表面积：S表=__________________.S侧+S上底+S下底π(r′+r)lπ(r′2+r2+r′l+rl) 4.柱体、锥体、台体的体积(1)柱体的体积：V柱体=___(S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高).(2)锥体的体积：V锥体=_____(S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高).(3)台体的体积：V台体=______________(S′,S分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高).Sh 1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.()(2)若一棱柱的底面周长为C,侧棱长为l,则该棱柱的侧面积等于C·l.()(3)一个圆柱的高伸长为原来的2倍,底面半径缩短为原来的,体积不变.()(4)简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关.() 提示：(1)正确.多面体的表面积是几何体表面的面积,因此表面积=侧面积+底面积.故此说法是正确的.(2)错误.只有直棱柱的侧面积才等于底面周长C与侧棱长l的乘积,故此说法是错误的.(3)错误.因为圆柱的体积为πr2h,所以体积变为原来的.(4)正确.根据几何体的体积计算公式,可知该说法正确.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√ 2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的体积为.(2)圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的体积为.(3)圆柱的一个底面面积为S,高为h,则这个圆柱的侧面积等于. 【解析】(1)根据长方体的体积计算公式得V=abc.答案：abc(2)答案：(3)设圆柱的底面半径为r，则S=πr2，所以所以侧面积为.答案： 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积探究1：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是什么图形?提示：直棱柱的侧面展开图是矩形;正棱锥的侧面展开图是由各侧面的三角形组成的;正棱台的侧面展开图是由各侧面的等腰梯形组成的. 探究2：对于一个多面体,如果沿不同的棱将它剪开,然后展开,那么得到的展开图相同吗?其表面积是否相等?提示：由于剪开的棱不同,同一个多面体的表面展开图可能不是全等的多边形,但是无论如何剪开,同一个多面体的表面展开图的表面积是一样的.探究提示：从几何体的侧面展开图考虑探究 【探究提升】对棱柱、棱锥、棱台的表面积的两点说明(1)求棱柱、棱锥、棱台的侧面积是将它们的侧面展开后放到一个平面内来求,这种将空间图形问题转化为平面图形问题来求解的方法,在立体几何中经常用到.(2)求棱柱、棱锥、棱台的表面积可以先求侧面积,再求底面积. 二、圆柱、圆锥、圆台的表面积探究1：观察下面几个几何体的侧面展开图,思考下面的问题： (1)圆柱的侧面展开图为;圆锥的侧面展开图为;圆台的侧面展开图为.提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环.答案：矩形 扇形 扇环(2)圆柱的侧面展开图中长和宽分别由圆柱的哪些量确定?提示：圆柱的侧面展开图中长是圆柱的底面圆周长2πr,宽是圆柱的母线长l. (3)圆锥的底面半径为r,母线长为l,则其展开图扇形的半径和弧长各是多少?提示：其展开图扇形的半径为圆锥的母线长l,弧长为圆锥底面圆的周长2πr. 探究2：仔细观察圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式说出它们之间具有什么关系?提示：根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征,不难得到它们的侧面积的关系,具体如下. 【探究提升】对圆柱、圆锥、圆台的表面积的两点说明(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,所以弄清它们的侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段或曲线段与原旋转体的关系是掌握它们侧面积公式及解有关问题的关键.(2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积先求侧面积,再求底面积,其和即为该几何体的表面积. 【拓展延伸】圆锥、圆台侧面展开图中扇形、扇环的圆心角(1)圆锥的侧面展开图的圆心角为：θ=·360°(r表示圆锥的底面半径，l表示圆锥的母线长).(2)圆台的侧面展开图的圆心角为：·360°(R表示圆台下底面半径，r表示圆台上底面半径，l表示圆台的母线长). 三、柱体、锥体、台体的体积V柱体=Sh，V锥体=Sh,V台体=(S′++S)h探究1：柱体的体积与哪些量有关？提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面的形状以及是斜棱柱或直棱柱无关. 探究2：对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面. 探究3：若圆台的上底面半径为r′，下底面半径为r，高为h，则圆台的体积如何用上述量表示？提示：由台体的体积计算公式V台体=其中S′=πr′2，S=πr2，V圆台= 【探究提升】求几何体体积应注意的问题(1)求柱体的体积关键是求柱体的底面积和相应的高.(2)求锥体的体积的时候，要明确锥体的底面是个什么图形，如果是多边形，则是棱锥，如果底面是圆，则是圆锥.无论是正棱锥，还是斜棱锥，体积公式都是相同的.(3)台体可以看作是由一个平行于底面的平面去截取一个锥体，截去小锥体后，剩余的部分即为台体.故台体的体积可以由大锥体的体积减去小锥体的体积，也可以利用体积公式V台体=计算. 类型一柱体、锥体、台体的表面积试着解答下面的问题,总结求解柱体、锥体、台体的表面积的思路.1.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的() 2.如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14) 【解题指南】1.根据圆锥的侧面积公式和底面积公式，只需找出圆锥的母线长与底面半径的关系.2.因为正方体的棱长为4cm，而洞深只有1cm，所以正方体没有被打透．这样打洞后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积. 【解析】1.选D.设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则由已知得l＝2r，所以2.因为正方体的棱长为4cm，而洞深只有1cm，所以正方体没有被打透．所以几何体的表面积等于原来正方体的表面积，再加上圆柱的侧面积.因为这个圆柱的高为1cm，底面圆的半径为1cm，正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(cm2)，所以挖洞后几何体的表面积为96＋6.28＝102.28(cm2). 【技法点拨】求几何体表面积的解题思路(1)求棱柱、棱锥、棱台的表面积关键是它们的基本量的求解，即求出它们的底面边长，高或者斜高，然后代入公式即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积求解的关键是利用好它们的轴截面，这样可以将空间的问题转化为平面问题. 【变式训练】1.一个圆柱的底面面积是S，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为()A.4πSB.2πSC.πSD.【解析】选A.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S=πr2，所以又圆柱的侧面展开图是正方形，所以l=2πr，故圆柱的侧面积为S圆柱侧=2πrl=(2πr)2= 2.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则表面积为_______cm2．【解析】由已知可得四棱台侧面梯形的高为所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2)，S上底=8×8=64(cm2)，S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1012(cm2)．答案：1012 类型二柱体、锥体、台体的体积试着解答下面的问题，总结求解简单几何体体积的关键点.1.长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是() 2.(2012·山东高考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为________.3.把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 【解题指南】1.设出长方体的共顶点的三条棱的长,根据各面的面积,建立关于各棱的长的方程,再由体积公式求解.2.本题考查利用变换顶点法来求三棱锥的体积,根据三棱锥A-DED1的体积与三棱锥E-ADD1的体积相等求解.3.要注意讨论底面周长为6和3两种情况. 【解析】1.选A.设长方体共顶点的三条棱的长为a，b，c，且ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，所以2.因为三棱锥A-DED1的体积与三棱锥E-ADD1的体积相等，又以△ADD1为底面的三棱锥的高为1，故答案： 3.如图所示，当BC为底面周长时，半径则体积当AB为底面周长时，半径则体积 【技法点拨】求解简单几何体体积的关键(1)求解柱体的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求的量转化到轴截面内求.(2)求解锥体体积关键是明确锥体的底面是什么图形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点.(3)台体的体积计算既可以利用体积计算公式，也可以转化为两个锥体体积之差求解. 【拓展延伸】锥体体积公式的推导如图所示，设三棱柱ABC-A′B′C′的底面(即三角形ABC)的面积为S，高为h，则它的体积为Sh，沿平面A′BC和平面A′B′C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥.其中三棱锥1，2的 底面积相等(S△A′AB=S△A′B′B)，高也相等；三棱锥2，3也有相等的底面积(S△B′BC=S△B′C′C)和相等的高.因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是Sh，这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘高的三分之一.对于任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为V锥体=Sh. 【变式训练】如图所示,三棱柱ABC-A′B′C′中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A′C′B′的体积),V2的两部分,那么V1∶V2=. 【解析】设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，所以V2＝V－V1＝.所以V1∶V2＝7∶5.答案：7∶5 类型三根据三视图求几何体的表面积及体积通过解答下面的问题,体会由三视图求几何体表面积及体积的方法.1.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是()A.6πB.12πC.18πD.24π 2.(2012·新课标全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18 3.已知某几何体的三视图如图,求该几何体的表面积.(单位：cm) 【解题指南】1.先根据三视图,得出几何体的形状,再求解.2.由三视图想象出几何体的直观图,由直观图求得体积.3.由三视图可知该几何体为组合体,下面为正四棱柱,上面为正四棱锥,画出直观图求解. 【解析】1.选B.该几何体是两底面半径分别为1，2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.2.选B.由题意知，此几何体是三棱锥，其高h=3，相应底面面积为S=×6×3=9,所以V=Sh=×9×3=9. 3.由三视图可知该几何体为组合体，下面为正四棱柱，上面为正四棱锥，因此该几何体的直观图如图．其中正四棱柱的底面边长为4cm，高为2cm，与其同底的正四棱锥的斜高所以其表面积为： 【互动探究】题3条件不变，求该几何体的体积.【解析】由三视图可知该几何体为组合体，下面为正四棱柱，上面为正四棱锥，且正四棱柱的底面边长为4cm，高为2cm，与其同底的正四棱锥高为2cm，所以该几何体的体积为：V=V正四棱柱+V正四棱= 【技法点拨】由三视图求解几何体表面积和体积的方法(1)首先根据三视图确定几何体的结构特征，若该几何体是简单组合体的要将其分解为柱、锥、台等简单几何体.(2)根据相应的表面积和体积公式计算.提醒：将三视图还原为直观图，是解题的关键. 【变式训练】(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______. 【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积求法,解答本题的关键是正确地想象出直观图,再代入体积公式求解，根据三视图可知该几何体为三个圆柱组合而成. 【解析】由本题的三视图可知，该几何体是由三个圆柱组合而成，其中左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2，高为1)，中间一个圆柱(底面圆半径为1，高为4)，故该几何体的体积为V=2×π×22×1+π×12×4=12π.答案：12π 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A.B.64C.16D.96【解析】选B.设正方体的棱长为a，则6a2=96，所以a=4，因此体积为43=64. 2.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为()A.B.2πC.πD.4π 【解析】选A.由三视图可知，该几何体是底面圆半径为，高为1的圆柱，故其表面积 3.边长为6cm的正方形ABCD,BC,CD的中点分别为E,F.现沿AE,AF,EF折叠，使B,C,D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________.【解析】因为折叠后棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此棱锥的表面积就是正方形的面积．答案：36cm2 4.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的表面积为_________；体积为______.【解析】设圆柱的底面半径为r，则h=4=2πr，所以r=,所以圆柱的表面积为4×4+2π×()2=16+；体积为πr2h=π×()2×4=．答案： 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________. 【解析】由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝答案： 6.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个三棱锥C-A′DD′，求三棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． 【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，三棱锥C-A′DD′的体积为所以剩余部分的体积为所以两部分之比为